Maths expert : Suite de nombres complexes

Bonsoir,

J’aurais besoin d’aide pour un exercice de mon dm de maths expert.
Voici le sujet :
La suite (Zn) définie par (Z0) = 0 pour tout entier naturel n, on pose Zn+1 = iZn-4.
On a aussi, Zn = an + ibn.
J’ai exprimé an+1 et bn+1 en fonction de an et bn : Zn+1 = iZn-4
= i(an+ibn)-4
= ian -bn-4

Donc an+1 = ian et bn+1 = -bn-4

Un+1 = i*Un et Un = Zn- w avec w = -2-2i.

En déduire que Un = (2+2i)*i^n.

Bonsoir Arya_Reyes,

$Z_{n+1}=iZ_n-4= ia_n-b_n-4$
Donc
$a_{n+1}=-b_n-4$ et $b_{n+1}=a_n$

Pour la question 2, Quelle est la nature de la suite $U_n$ ?

@Noemi

Bonjour,

Mais oui! (Un) est une suite géométrique. Merci pour la piste, je vais faire l’ex et mettre mes réponses pour voir si j’ai réussi.

Merci beaucoup!

@Noemi
Bonjour
Je ne comprend pas comment résoudre la question 2, pourriez-vous m’aider svp
Merci

@RK Bonjour,

$U_n)$ est une suite géométrique de raison $i$ .
Utilise l'écriture du terme général d'une suite géométrique.
Soit : $Un=U0×qnU_n=U_0\times q^n$

@Noemi
Mercii beaucoup

@Noemi
Pouvez-vous m’aider pour ces questions svp
3. En déduire l'expression de zn en fonction de n.
4. a) Donner la valeur de i^2 et en déduire la valeur de i^50
et i^100
b) En déduire la forme algébrique de Z50 et Z100 sans
calculatrice.

@Noemi
Je n’arrive pas à comprendre pourquoi an+1=-bn-4 et bn+1=an et pas l’inverse

@RK

De $Z_n=a_n+ib_n$ , tu déduis
$Z_{n+1}=a_{n+1}+ib_{n+1}$
or
$Z_{n+1}=iZ_n-4=i(a_n+ib_n)-4$
En développant
$Z_{n+1}=ia_n-b_n-4 = -b_n-4+ia_n$
or $Z_{n+1}=a_{n+1}+ib_{n+1}$
partie réelle $a_{n+1}=-b_n-4$
partie imaginaire $b_{n+1}=a_n$

$Z_n=U_n+w$
$i^2=-1$
$i^{50}=(i^2)^{25}=...$

@Noemi
Mercii beaucouppp
Et pour la question 4 b pouvez vous m’expliquer svp

@RK

Utilise la relation de $Z_n$ et remplace $n$ par 50 puis par 100.

@Noemi
Donc Zn=Un + W
Z50=U50 + W
=(2+2i)i^50 + (-2-2i)
=(2+2i)(-1) + (-2-2i)
= -4-4i
Et
Z100=U100+ W
=(2+2i)*i^100 + (-2-2i)
=(2+2i)*1 + (-2-2i)
= 0

C’est ça ?

@RK

C'est juste.

@Noemi
Mercii beaucoup

@RK

C'est parfait si tu as tout compris.

@Noemi
Ouii j’ai tout compris
Mercii beaucouppp pour toutes vos explications

@RK

Très Bien.
A+ si tu le souhaites.