Calcul d'aire- Approximation de Pi pas la méthode de Monte-Carlo

Bonjour,
J'ai un long exercice en rapport avec le calcul d'aire mais je n'y arrive pas.

On considère le carré de côté 1 et le quart de disque de centre l'origine O du repère, de rayon 1, comme illustrés sur la figure ci-contre.

On prend au hasard un point M à l'intérieur du carré C
Quelle est la probabilité que M soit dans le quart de disque A?
On note (x;y) les coordonnées du point M.
Quelles conditions doivent vérifier les coordonnées du point M pour que Celui-ci

a) soit dans le carré C ?
b) soit dans le quart de disque A?

(J'ai fait la figure sur Libre Office mais je n'arrive pas à la mettre en lien)

Il reste encore 4 questions avec un algorithme mais je veux d'abord voir si je réussis à l'aide des réponses aux questions ci-dessus sinon je redemanderai de l'aide.

Merci d'avance.

Bonjour Maissane,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

Quelle est l'aire du quart de disque ?

L'aire du quart d'un disque est : (r² fois Pi)/ 4

(1² fois Pi)/ 4= environ 0, 79 ?

@Maissane

Oui

Passe à la question 2.

Donc la réponse à la question 1, c'est juste ça?

La probabilité de M est égale donc à 0,79?

@Maissane

Oui en arrondissant.

Pour la question 2, la) M doit être inférieur à 1 puisque l'aire du carré est égale à 1 puisque 1 fois 1 est égale à 1.

Pour la b, M doit être inférieure ou égale à 0,79 pour qu'il soit dans le quart de disque A

@Maissane

Pour la question 2, il faut écrire des conditions pour $x$ et $y$ .

Un exemple s'il vous plaît?

@Maissane

a) Le côté du carré est de dimension 1 :
$0 \leq x \leq 1$ et $0 \leq y \leq 1$
Donc pour l'intérieur du carré :
$0<x<10\lt x\lt1$ et $0<y<10\lt y\lt1$

D'accord merci je me disais bien que ça devait bien être ça donc le petit b:

Pour que M soit dans le quart de disque A il faut que:
0 ≤ x ≤ 0,79 et 0≤ y ≤ 0,79

C'est ça?

@Maissane

Non, pour la question b), il faut connaitre l'équation de la courbe.
Ici un quart de cercle
L'équation du cercle est $x^2+y^2=1$
Pour l'intérieur du quart du cercle
$0<x2+y2<10\lt x^2+y^2 \lt1$
$0<x<10\lt x\lt1$
$0<y<10\lt y\lt1$

Pourquoi l'équation du cercle est égale à ça?

@Maissane

Si tu prends un point M du cercle. Ces coordonnées $(x; y)$ .
Si tu traces le rayon, tu peux en utilisant le théorème de Pythagore écrire :
$x^2+y^2 = R^2$ , comme le rayon vaut 1, cela donne $x^2+y^2= 1$ .

D'accord mercii je viens de comprendre

Bonjour voici la suite de mon exercice avec l'algorythme,

Affecter à N la valeur 1000
affecter à C la valeur 0
Pour i allant de 1 à N

Affecter à x une valeur aléatoire de [0;1]

Affecter à y une valeur aléatoire de [0;1]

```
    Si x²+y² < 1
```
```
       Affecter à C la valeur C + 1
```
```
   Fin si 
```
Fin Pour
Afficher C/N

Dans l'algorythme suivant

a. A quoi correspond la valeur de la variable C ?
b. Que fait cet algorythme ?
c. A quelle valeur peut on s'attendre approximativement, en sortie ?
d. A quel comportement du résultat affiché en sortie ?
e. A quoi peut on s'attendre lorsque la valeur de N augmente ?

Modifier cet algorythme afin d'obtenir une approximation de Pi.
Coder l'algorythme en language python.
Saisir l'algorythme sur votre calculatrice puis l'exécuter.
Changer le codage Python de telle sorte à définir une fonction.

indication: il faut importer le module random avec l instruction from random import

merci d'avance.

@Maissane

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

Je pense que C correspond à un point pour voir si il est dans le cercle ou non

Pour la 3 petit b, je dirai que cet algorithme sert à savoir si un point appartient au cercle ou au carré

Pour la 3 petit c la valeur sera presque toujours inférieur à 1 puisque l'on divise par 1000

Je ne comprends pas le deux autres questions et pour ce qui est du language Python, on ne nous a jamais montré comment faire .

Merci d avance

Je dois finir cet exercice avant demain puisque je ne l'ai eu que dimanche merci à la personne qui m'aidera

@maybessa

a. La variable C indique le nombre de points compris dans le quart de cercle.
b. L'algorithme affiche le rapport du nombre de points inscrit dans le cercle sur 1000 (le nombre de tests)
c. approximativement en sortie on obtient une valeur proche de 3.
d. le résultat tend vers une valeur constante.
e. si on augmente la valeur de N, on obtient une valeur proche de $π\pi$ .

Merci beaucoupp, vous savez comment utiliser le language python?

pour la question c comment on obtient 3 ?

@maybessa

Un exemple de programme Python à tester
from random import
N=2000
C=0
for i in range(N):
x=random.random()
y=random.random()
if x** 2+y**2<1:
C=C+1
print(C/N)

Cet exemple serait pour la question 5 non?

Pour la question 4 il faut peut etre ajouter à l algorithme
Pi= 4 fois le nbr de tests non?

@maybessa

C'est pour la question 5,

Pour la question 4, il faut indiquer que l'on augmente le nombre de test donc la valeur de N.

Pour la question 6 je pense regarder des vidéos pour savoir utiliser mais je n'ai pas compris la dernière question

Pour la question 3, le petit c comment avez vous trouver la valeur 3?

Comment on peut mettre un codage Python en fonction ?

@maybessa

3 car on sait que le programme va permettre si on augmente N de trouver une valeur approchée de $π=3,14....\pi= 3,14....$

Pour écrire une fonction $x^2+y^2= 1$ donne $y^2= 1 -x^2$
soit $\sqrt{1-x^2}$
donc $y<1−x2y\lt\sqrt{1-x^2}$ pour $x$ compris entre 0 et 1.

merciii pour votre aide mercii