Discuter suivant les valeurs de n (divisibilité par 3)

Montrer directement sans passer par la récurrence que $n^3-n$ est divisible par 3
Je sais déjà que je peux discuter suivant les valeurs de n pour n pair et pour n impair respectivement $2 n$ pour tout $n$ de $N$ et $2 n + 1$ pour tout $n$ de $N$
Mais je vois pas comment démarrer devrais je d’abord montrer que $n^3-n$ Est pair oui vérifier si c’est divisible par 3 ou respectivement ? Car il sexiste des nombre pair divisible par 3 comme des nombres impairs

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Ou bien tout simplement tu factorises la proprio et ça va être : (n-1)n(n+1) cela est divisible par 3 car le produit de trois nombres successives est divisiple à trois

@Bnhadouch-Yassir dans les deux configuration l’es expression ne sont pas factorisable par 3 avec des coefficients entiers ! Dans le premier cas j’ai $8k^3-2k$ et dans le second $6k^3+12k+4k$

@Bnhadouch-Yassir es ce que 17^3 est divisible par 3 ?

@loicstephan absolument , non

@loicstephan tu cherche la situation convenable pour cet exercice c'est la deuxième. La deuxième démonstration que j'ai suggéré est plus facil et simple

@loicstephan mais 17^3-17 est divisible par 3

@Bnhadouch-Yassir c très vrai le produit de 3 nombre retranché du nombre est divisible par 3

Bonsoir loicstephan,

Il faut utiliser la factorisation.
$n^3-n = n(n^2-1) = (n-1)n(n+1)$
soit le produit de trois entiers consécutifs.

@Noemi bonjour madame si on s’atrete La la démonstration n’est pas terminée car si on prend par exemple $17 < e m > 17 < / e m > 17$ Ce ci n’est divisible pas 3 !

@loicstephan 171717

@loicstephan

C'est trois entiers consécutifs, donc par exemple : $16×17×1816\times 17\times 18$ .

Si tu écris les nombres entiers dans l'ordre croissant et que tu en prends trois consécutifs tu pourra toujours diviser l'un d'entre eux par 3.
1; 2; 3 ; 4 ; 5; 6; 7; 8; 9; 10, 11, ....

@Noemi

Bonjour,

Une piste si l'on connait les congruences (programme d'arithmétique)

Trois cas :

i) $[3]n\equiv 0\ [3]$ donc $[3]n^3 \equiv 0\ [3]$ donc $[3]n^3-n\equiv 0 -0\ [3]$ donc $[3]n^3-n\equiv 0\ [3]$

ii) $[3]n\equiv 1\ [3]$ donc $[3]n^3 \equiv 1\ [3]$ donc $[3]n^3-n\equiv 1 -1\ [3]$ donc $[3]n^3-n\equiv 0\ [3]$

iii) $[3]n\equiv 2\ [3]$ donc $[3]n^3 \equiv 8\ [3]$ donc $[3]n^3-n\equiv 8 -2\ [3]$ donc c $[3]n^3-n\equiv 6\ [3]$ donc $[3]n^3-n\equiv 0\ [3]$

CQFD

@mtschoon bonsoir merci bien monsieur ! Mais je ne connais malheureusement pas les congruences

@loicstephan , bonjour,

Ce n'est pas "monsieur" mais "madame"..;, mais ça n'a pas d'importance !
(comme mon pseudo est composé d'initiales de mon nom et prénom, tu ne peux pas savoir...)

Je me doutais que tu ne connaissais pas encore les congruences, mais cela peut servir à d'autres qui viennent consulter.

@mtschoon okay madame désolé !

@loicstephan je vais bientôt m’approprier Cette notion et on va en duscuter

Ne te fais pas de soucis @loicstephan , ton professeur t'apprendra certainement cette notion ultérieurement.

Bonne semaine.