Les applications du second degré

Svp je de difficulté concernant cet devoir
Trois nombres consécutifs sont tels que le cube de plus grand égal trois fois la somme du cube de deux autres. Quels sont ces nombres ?
Svp!

Bonjour Jerdam-Mokili,

Trois nombres consécutifs peuvent s'écrire : $n - 1$ , $n$ , $n + 1$
Tu dois résoudre l'équation :
$n+1)^3=3[n^3+(n-1)^3]$

@Noemi le nombre le plus grand n’est pas -1? Bref il aura une équation de degré 3 dont -2 est racine

@loicstephan

Vérifie tes calculs.

Bonjour,

@Jerdam-Mokili , je t'indique les pistes qui peuvent t'être utiles.

identités remarquables :
$a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Tu peux ainsi développer $n+1)^3$ et $n-1)^3$

En remplaçant dans l'équation $n+1)^3=3[n^3+(n-1)^3]$ , tu dois obtenir, l'équation (ou une équation équivalente)
$5n^3+12n^2-6n+4=0$

En testant parmi les solutions dites "évidentes", tu dois trouver que n=2 est solution.

Tu peux donc, avec la méthode dont tu as l'habitude, mettre (n-2) en facteur

Sauf erreur, tu dois obtenir :
$n-2)(-5n^2+2n-2)=0$

Tu continues.

Tiens nous au courant de ta réponse si tu le souhaites.

@mtschoon
Merci pour la méthode, je essaierait de te tenir au courant pour la suite

@Noemi exactement il y a une erreur c 2 la racine !

@loicstephan

Non pas d'erreur dans les réponses proposées sauf dans tienne.

@Noemi oui dans mes réponses precedemments proposées

@loicstephan

Exact ta solution est fausse.

Bonjour,

La solution est bien 2.

@loicstephan , tes propositions de -1 ou -2 sont effectivement inexactes...et tu n'as pas donné de preuve.

Pour plus de clarté, je reprends le calcul, si besoin .

$5n^3+12n^2-6n+4=0$

Solution évidente $2$ , car pour $n = 2$ , l'équation devient :
$−5×8+12×4−6×2+4=0-5\times 8+12\times 4-6\times 2+4=0$
c'est à dire $- 40 + 48 - 12 + 4 = 0$ VRAI

On peut donc mettre $(n - 2)$ en facteur.

Méthode la plus rapide : division euclidienne ( mais pas vraiment au programme de Terminale)

Méthode classique : identification.

$n-2)(an^2+bn+c=-5n^3+12n^2-6n+4$
En developpant le membre de gauche :
$an^3+(b-2a)n^2+(c-2b)n-2c=5n^3+12n^2-6n+4$

Par identification, pour tout n
${a=−5b−2a=12c−2b=−6−2c=4\begin{cases} a=-5 \cr b-2a=12 \cr c-2b=-6 \cr-2c=4 \end{cases}$

$a = - 5$
Par substitution $b - 2 (- 5) = 12$ <=> $b = 2$
Par substitution $c - 2 (2) = - 6$ <=> $c = - 2$
$- 2 c = 4$ <=> $c = - 2$
On obtient donc c qui étéit indiqué dans ma réponse précédente :
$n-2)(-5n^2+2n-2)=0$

1er cas : $n - 2 = 0$ <=> $n = 2$

2ème cas : $5n^2+2n-2=0$
équation du second degré avec discriminant strictement négatif, donc impossible;

Seule solution : $n=2\boxed{n=2}$

CQFD

Bonne lecture.