Suite croissante et convergente

Bonsoir

Montrer que si une suite est croissante et converge vers $l$ alors tous ses termes sont inférieurs ou égaux à $l$
Une suite est convergent en $l$ si sa limite en infinie est égal à $l$ et croissante si le terme $\geq n$
Mais comment démontrer

Bonjour loicstephan,

Complète la définition de suite croissante.
Tu peux effectuer un raisonnement par l'absurde.

@Noemi soit $u_n$ une suite on dit que $u_n$ est croissante si quelque soit $n$ de $N$ $un+1−un≥0u_{n+1}-u_n\geq0$

@loicstephan

C'est correct.

@Noemi supposons $u_(n+1)-u_n<0$ et montrons que cette proposition est fausse comment y parvenir?

@loicstephan
Tu dois démontrer la proposition (P) : Sachant que la suite est croissante, pour tout entier $n$ , $un≤lu_n\leq l$ .
Tu utilises la proposition (non P), il existe une entier $n_i$ tel que $un>lu_n\gt l$ .

Bonjour,

@loicstephan , une remarque au sujet du Latex.
C'est bien d'essayer mais il faut appliquer strictement la syntaxe, sinon, comme tu le vois, tu obtiens une écriture en rouge fausse.
Il faut mettre des accolades autour de n+1 au lieu des parenthèses.
Sans espaces, si tu écris, entre les deux dollards , U_{n+1} , tu obtiens $U_{n+1}$

Pour le raisonnement par l'absurde, je pense que Noemi a voulu écrire, il existe un entier $n_i$ tel que $Uni>LU_{n_i}\gt L$

Si ça peut t'aider. je te mets quelques indications possibles sur ce raisonnement , qu'il faudra expliciter.

Soit , par exemple, $I=]−∞,Uni[I=]-\infty,U_{n_i}[$
I est un intervalle ouvert contenant L.

Par définition de la limite d'une suite (regarde ton cours), I contient tous les termes de la suite $U_n)$ à partir d'un certain rang, ce qui veut dire qu'à partir d'un certain rang : $Un∈I\boxed{U_n\in I}$
Mais, pour tout n supérieur à $n_i$ , vu que la suite est croissante , $Un≥UniU_n\ge U_{n_i}$ donc $Un∉I\boxed{U_n\notin I}$

Contradiction.

Bonne réflexion.

@mtschoon bonsoir madame çà parait plus clair merci

Contente de t'avoir éclairé.