Exercice de logique fonction

Bonsoir à tous .
Soi f une fonction définie de N dans N
Montrer que si f est strictement croissante alors:
F(n) 》n .merci d'avance je pense qu'on doit utiliser qui dit "f est une fonction croissante :pour x et y dans le DD de f , si on a x ≤ y, on a aussi f (x) ≤ f (y)."

Bonsoir Bnhadouch-Yassir,

Utilise la définition de strictement croissante et un raisonnement par l'absurde.

@Noemi j'ai citer toute les données

@Noemi il daut qu'on montre f(n+1)-f(n) positive

@Bnhadouch-Yassir

La propriété à démontrer est que si la fonction $f$ est strictement croissante alors $\geq n$ .
Suppose qu'il existe un entier $n_i$ , tel que $f(ni)<nif(n_i) \lt n_i$ .

Je te laisse poursuivre.
Bonne nuit.

@Noemi d'acord .. après..

Bonjour,

@Noemi t'expliquera peut-être la démonstration par l'absurde qu'elle te suggère

Une remarque : la traduction que tu proposes pour une fonction strictement croissante , n'est pas pertinente.
Tu devrais dire :
Pour x et y dans au domaine de définition de f ,
si x > y , alors f (x) > f (y)

Si tu souhaites une démonstration par récurrence , cela se fait très simplement.

@Bnhadouch-Yassir , je te donne des indications pour une démonstration par récurrence, si cela te convient.

Initialisation pour n=0
Vu que f est une fonction définie de N dans N, nécessairement $f(0)∈Nf(0)\in N$ , c'est à dire $f(0)≥0f(0)\ge 0$

Hérédité
Hypothèse pour une valeur n de N : $f(n)≥nf(n)\ge n$
Il faut démontrer que $f(n+1)≥n+1f(n+1)\ge n+1$

Démonstration (regarde bien les inégalités au sens strict et au sens large, car la démonstration est basée dessus)

$n+1>nn+1\gt n$ donc $\gt f(n)$ (vu que f est strictement croissante)
Or, $f(n)≥nf(n)\ge n$ par hypothèse de la récurrence.

donc $\gt f(n) \ge n$

donc $f(n+1)>nf(n+1)\gt n$

donc $f(n+1)≥n+1f(n+1)\ge n+1$

CQFD.

Bonne réflexion sur ces inégalités

@mtschoon merci beaucoup j'ai bien compris

@Bnhadouch-Yassir , de rien et bon travail.