Suite convergente et signe de la suite !

Bonjour à tous svp une autre démonstration !

Montrer que si une suite converge vers un réel $l$ non nul, alors elle est du signe de $l$ à partir d’un certain rang.
Une suite est dite convergente si sa limite en l’infinie tend vers un certain $l$ élément de $I$ intervalle dans lequel est défini la suite !

Bonjour loicstephan,

Utilise la définition de suite convergente :
La suite (u_n) converge vers $l$ lorsque $n$ tend vers $∞\infty$ si
quel que soit $ϵ>0\epsilon\gt 0$ , il existe un entier naturel $n_0$ , quel que soit l'entier naturel n ; $∣un−l∣<ϵn\geq n_0 \implies \vert u_n-l\vert \lt \epsilon$

Bonjour.

@loicstephan ,

Un petit coup de pouce, si besoin, pour formuler la démonstration.

Par hypothèse, l est non nul. Je choisis l > 0
Il faudra que tu regardes ensuite pour l < 0

Vu que l est strictement positif, il existe un intervalle $I=]l−α,l+α[I=]l-\alpha, l+\alpha[$ , avec $α>0\alpha \gt 0$ , pour lequel, pour tout réel x de I, x > 0

Exemples pour comprendre:
pour l=2, on peut prendre par exemple $α=1\alpha=1$
pour l=1, on peut prendre par exemple $α=0.5\alpha=0.5$
pour l=0.1, on peut prendre par exemple $α=0.05\alpha=0.05$

Vu que la suite $U_n)$ converge vers l, avec la définition donnée par Noemi, pour tout $ϵ>0\epsilon \gt 0$ , il existe $n_0$ tel que, à partir de ce rang, $l−ϵ<Un<l+ϵl-\epsilon\lt U_n\lt l+\epsilon$ , c'est à dire $Un∈]l−ϵ,l+ϵ[U_n\in]l-\epsilon, l+\epsilon[$
Soit $J=]l−ϵ,l+ϵ[J=]l-\epsilon, l+\epsilon[$

En choisissant $ϵ≤α\epsilon\le \alpha$ , on obtient $\subset I$ , dont les éléments de la suite $U_n$ , pour $\ge n_0$ , sont dans J donc dans I, donc sont strictement positifs.

Regarde cela de près.
Pour bien réaliser, je te conseille de faire un petit schéma où tu représente l, I, J.

@mtschoon @Noemi je vais relire chacune de vous et analyser de plus près merci et bonjour!

@loicstephan madame je ne cerne pas toujours! Mais une technique serait de monter par exemple que $lim⁡n→∞∣un−l∣=0\displaystyle \lim_{n\to\infty} |u_n-l|=0$
La démonstration le reste floue

@loicstephan , ce que tu indiques ne sert pas pour la question que tu as posée, qui est : "Montrer que si une suite converge vers un réel l non nul, alors elle est du signe de l à partir d’un certain rang".
Cela veut dire que si l >0 , alors les termes de la suite sont positifs à partir d'un certain rang, et si le l<0, les termes de la suite sont négatifs à partir d'un certain rang.

Revois la démonstration proposée et indique précisément ce qui t'échappe.
Demain, je te donnerai des indications les plus claires possibles.

@mtschoon la condition pour que $l$ soit négatif il faudrait que epsilon soit plus grand que $l$

@loicstephan , ne t'occupe pas du cas $\lt 0$
Tu pourras utiliser exactement la même démarche que pour $l>0l\gt 0$
Il faut donc que tu comprennes la démarche pour $l>0l\gt 0$

Tu n'as pas indiqué où tu bloquais...

Je tente une explication "concrète" avec $l>0l\gt 0$

1)Tu fais un axe, orienté vers la droite. Tu places le point O d'abscisse 0.
A droite de 0, tu mets un point d'abscisse $l>0l\gt 0$
Sur cet axe, à droite du point O, tu peux placer un intervalle $I=]l−α,l+α[\boxed{I=]l-\alpha, l+\alpha[}$ , centré sur $l$ .
Tous les points de cet intervalle I auront une abscisse strictement positive.

2)Comprends la définition usuelle de limite $lim⁡n→+∞Un=l\displaystyle \lim_{n\to +\infty}U_n=l$ c'est à dire :
Pour tout $ϵ>0\epsilon\gt 0$ choisi, il existe une valeur $n_0$ pour laquelle , à partir du rang $n_0$ , $∣Un−l∣<ϵ|U_n-l|\lt\epsilon$

Dire que $∣Un−l∣<ϵ|U_n-l|\lt\epsilon$ veut dire que $−ϵ<Un−l<ϵ-\epsilon\lt U_n-l\lt \epsilon$ , c'est à dire que, en ajoutant l à chaque membre : $l−ϵ<Un<l+ϵl-\epsilon\lt U_n\lt l+\epsilon$ , c'est à dire que $Un∈]l−ϵ,l+ϵ∣\boxed{U_n\in]l-\epsilon, l+\epsilon|}$
Soit J l'intervalle $l−ϵ,l+ϵ∣l-\epsilon, l+\epsilon|$
$Un∈J\boxed{U_n\in J}$

3)Sur l'axe représenté, tu choisis une valeur $ϵ≤α\boxed{\epsilon \le \alpha}$ et tu places l'intervalle J centré sur l.

Cet intervalle J est donc inclus dans l'intervalle I
$J⊂I\boxed{J\subset I}$
Donc, à partir d'un certain rang $n_0$ , les valeurs de $U_n$ appartenant à J appartiennent à forciori à I, donc sont strictement positives.

Bonne lecture.

Lorsque tu auras compris pour $l>0l\gt 0$ , tu pourras faire seul le cas $l<0l\lt 0$ exactement avec la même démarche

@loicstephan , je te mets un schéma, si besoin, pour $l>0l\gt 0$

Sur l'axe (xx') :
le point O a pour abscisse 0,
le point L a pour abscisse $l$
le point A a pour abscisse $l−αl-\alpha$
le point B a pour abscisse $l+αl+\alpha$
le point C a pour abscisse $l−ϵl-\epsilon$
le point D a pour abscisse $l+ϵl+\epsilon$

Ainsi,
]AB[ représente $I=]l−α,l+α[I=]l-\alpha,l+\alpha[$
]CD[ représente $J=]l−ϵ,l+ϵ[J=]l-\epsilon,l+\epsilon[$

text alternatif

Bonne réflexion.