3. Polynomes et fractions rationnelles

Polynomes et fractions rationnelles

  • arona Tounkara

    Re-Bonjour un autre exercice qui pose problème
    le polynôme P(x) = x au cube - 14 x + 8 admet trois racines a,b et c. Sans les déterminer , calculer A= a+b+c ; B= abc ; C= a (au carré) + b(au carré) + c (au carré) ; D= (1/a) + (1/b) + (1/c)

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Bonjour arona-Tounkara,

    Si a, b et c sont les racines alors P(x)P(x)P(x) peux s'écrire :
    P(x)=(x−a)(x−b)(x−c)P(x) = (x-a)(x-b)(x-c)P(x)=(x−a)(x−b)(x−c)
    Développe P(x)P(x)P(x) puis par identification avec le polynôme de départ, tu détermines la valeur de A et B.
    P(x)=(x−a)(x2−(b+c)x+bc)=.....P(x)=(x-a)(x^2-(b+c)x+bc) = .....P(x)=(x−a)(x2−(b+c)x+bc)=.....
    Tu dois trouver :
    P(x)=x3−(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x−abcP(x) = x^3 -(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x - abcP(x)=x3−(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x−abc

    Indique tes éléments de réponse si tu souhaites une vérification.

  • mtschoon

    Bonjour,

    @arona-Tounkara , je te donne un petit coup de pouce supplémentaire, si besoin.

    Le polynôme donné dans l'énoncé est :
    P(x)=x3−14x+8P(x)=x^3-14x+8P(x)=x3−14x+8 c'est à dire
    P(x)=x3+0x2−14x+8\boxed{P(x)=x^3+0x^2-14x+8}P(x)=x3+0x2−14x+8​

    Regarde la réponse de Noemi :
    P(x)=x3−(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x−abc\boxed{P(x)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc}P(x)=x3−(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x−abc​

    J'espère que tu as compris pourquoi Noemi a écrit (x−a)(x−b)(x−c)(x-a)(x-b)(x-c)(x−a)(x−b)(x−c)
    Bien sur , regarde ton cours : a étant racine du polynôme c'est à dire solution de P(x)=0, on peut mettre (x-a) en facteur.
    Idem pour b et pour c.
    De plus , comme que le coefficient de x3x^3x3 est 1 dans l'énoncé, le polynôme s'écrira (x−a)(x−b)(x−c)(x-a)(x-b)(x-c)(x−a)(x−b)(x−c), pour qu'après développement , le coefficient de x3x^3x3 dans l'expression factorisée soit 1

    Par identification, pour tout x réel (tu identifies les coefficients des monômes de même degré) :

    coefficients de x3x^3x3
    1=1 (c'était prévu)

    coefficients de x2x^2x2
    −(a+b+c)=0-(a+b+c)=0−(a+b+c)=0 <=> a+b+c=0\boxed{a+b+c=0}a+b+c=0​ (formule 1)

    coefficient de xxx
    +(ab+ac+bc)=−14+(ab+ac+bc)=-14+(ab+ac+bc)=−14 <=> ab+ac+bc=−14\boxed{ab+ac+bc=-14}ab+ac+bc=−14​ (formule 2)

    termes constants :
    −abc=+8-abc=+8−abc=+8 <=> abc=−8\boxed{abc=-8}abc=−8​ (formule 3)

    Il te reste à utiliser les 3 formules (1), (2), (3) pour répondre à la question.
    Pour A et B, c'est immédiat.
    Pour C et D , il faudra que tu transformes.
    Pour C, pense à (a+b+c)²
    Pour D, pense à réduire au même dénominateur.

    Tiens nous au courant de tes avancées/réponses si tu le souhaites.

Se connecter pour répondre