Fonction avec ln ; point fixe

Bonjour, je demande de l'aide.
On donne f(x)= (1/2)x-ln(x)
1-Variation de f et tracer son graphe ( ce que j'ai pu faire )
J'ai obtenu que f est décroissante sur ]0;2] et croissante sur [2;+00[
2-Montrer que f admet un unique point fixe
Aidez moi pour la deuxième question. Je la croise dans plusieurs exercices, mais je ne sais pas comment la traiter. Peut-être dois je faire f(x)=x ?
Par ailleurs, avoir l'explication du théorème des valeurs intermédiaires car paraît-il qu'ils sont liés.
Merci, bonne journée à vous.

@Wil-Fried , bonjour,

Oui pour la question 1

Pour la question 2, tu dois prouver que l'équation $f (x) = x$ a une solution unique, que je note $α\alpha$

Graphiquement, $α\alpha$ est l'abscisse du point d'intersection de la représentation graphique de f avec la droite d'équation y=x

Piste pour la démonstration,

Soit $g(x)=f(x)−x=−x2−ln(x)g(x)=f(x)-x=-\dfrac{x}{2}-ln(x)$

Tu étudies les variation de g sur $]0,+∞[]0,+\infty[$
Tu dois trouver que g est dérivable (donc continue) et strictement décroissante .
$lim⁡x→0+g(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to 0^+} g(x)=+\infty$
$lim⁡x→+∞g(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$

Lorsque tu auras fait cela , tu pourras utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (cas de la bijection) pour prouver l'existence et l'unicité de la valeur $α\alpha$ :

g est continue et strictement décroissante de $]0,+∞[]0,+\infty[$ vers R, donc bijective.
0 a donc un antécédent unique $α\alpha$ par g, c'est à dire il existe une seule valeur unique $α\alpha$ de $]0,+∞[]0,+\infty[$ telle que $g(α)=0g(\alpha)=0$ , c'est à dire telle que $f(α)=αf(\alpha)=\alpha$

Tu peux trouver une valeur approchée de $α\alpha$ à la calculatrice.
Sauf erreur, $0.7<α<0.80.7\lt \alpha \lt 0.8$

Regarde tout ça de près et reposte si besoin.

@Wil-Fried ,

Représentation graphique de f avec la droite d'équation y=x

Représentation graphique de g

@Wil-Fried ,
Je viens de voir que tu a mis ta question dans la rubrique "Supérieur".
Cela correspond au programme de Terminale.
Peut-être que la modération la déplacera.

@mtschoon Merci beaucoup!

@mtschoon comment utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver l'existence et l'unicité de la valeur alpha comme vous lavez dis ??

@Wil-Fried , il faut que tu regardes ce que te dit ton cours sur le théorème des valeurs intermédiaires.

Je t'explicite un peu ce théorème , dans la version utile à ton exercice :

g est continue et strictement monotone sur un intervalle I dont l'image par g est J, donc tout élément $β\beta$ de J a un antécédent unique $α\alpha$ dans I, c'est à dire :
il existe un élément unique $α\alpha$ de I tel que $g(α)=βg(\alpha)=\beta$

Dans ton exercice :
$I=]0,+∞[I=]0,+\infty[$
$J=R=]−∞,+∞[J=R=]-\infty,+\infty[$
$β=0\beta=0$
$α\alpha$ est l'élément unique tel que $g(α)=0g(\alpha)=0$

Bonne réflexion.

Merci Noemi d'avoir déplacer ce topic en "Terminale"

@Wil-Fried , bonjour,

Si tu veux un cours approfondi sur le TVI, tu peux regarder ici :
http://maths.desfontaines.free.fr/IMG/pdf/Quand_et_comment_utiliser_le_theoreme_des_valeurs.pdf

Bon approfondissement.

@mtschoon Ohh merciii

@Wil-Fried , de rien !

C'est bien de répondre.
Contente que l'aide te soit utile.