Fonction avec ln ; point fixe


  • Wil Fried

    Bonjour, je demande de l'aide.
    On donne f(x)= (1/2)x-ln(x)
    1-Variation de f et tracer son graphe ( ce que j'ai pu faire )
    J'ai obtenu que f est décroissante sur ]0;2] et croissante sur [2;+00[
    2-Montrer que f admet un unique point fixe
    Aidez moi pour la deuxième question. Je la croise dans plusieurs exercices, mais je ne sais pas comment la traiter. Peut-être dois je faire f(x)=x ?
    Par ailleurs, avoir l'explication du théorème des valeurs intermédiaires car paraît-il qu'ils sont liés.
    Merci, bonne journée à vous.


  • mtschoon

    @Wil-Fried , bonjour,

    Oui pour la question 1

    Pour la question 2, tu dois prouver que l'équation f(x)=xf(x)=xf(x)=x a une solution unique, que je note α\alphaα

    Graphiquement, α\alphaα est l'abscisse du point d'intersection de la représentation graphique de f avec la droite d'équation y=x

    Piste pour la démonstration,

    Soit g(x)=f(x)−x=−x2−ln(x)g(x)=f(x)-x=-\dfrac{x}{2}-ln(x)g(x)=f(x)x=2xln(x)

    Tu étudies les variation de g sur ]0,+∞[]0,+\infty[]0,+[
    Tu dois trouver que g est dérivable (donc continue) et strictement décroissante .
    lim⁡x→0+g(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to 0^+} g(x)=+\inftyx0+limg(x)=+
    lim⁡x→+∞g(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to +\infty} g(x)=-\inftyx+limg(x)=

    Lorsque tu auras fait cela , tu pourras utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (cas de la bijection) pour prouver l'existence et l'unicité de la valeur α\alphaα :

    g est continue et strictement décroissante de ]0,+∞[]0,+\infty[]0,+[ vers R, donc bijective.
    0 a donc un antécédent unique α\alphaα par g, c'est à dire il existe une seule valeur unique α\alphaα de ]0,+∞[]0,+\infty[]0,+[ telle que g(α)=0g(\alpha)=0g(α)=0 , c'est à dire telle que f(α)=αf(\alpha)=\alphaf(α)=α

    Tu peux trouver une valeur approchée de α\alphaα à la calculatrice.
    Sauf erreur, 0.7<α<0.80.7\lt \alpha \lt 0.80.7<α<0.8

    Regarde tout ça de près et reposte si besoin.


  • mtschoon

    @Wil-Fried ,

    Représentation graphique de f avec la droite d'équation y=x

    Log.jpg

    Représentation graphique de g

    LogBis.jpg


  • mtschoon

    @Wil-Fried ,
    Je viens de voir que tu a mis ta question dans la rubrique "Supérieur".
    Cela correspond au programme de Terminale.
    Peut-être que la modération la déplacera.


  • Wil Fried

    @mtschoon Merci beaucoup!


  • Wil Fried

    @mtschoon comment utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver l'existence et l'unicité de la valeur alpha comme vous lavez dis ??


  • mtschoon

    @Wil-Fried , il faut que tu regardes ce que te dit ton cours sur le théorème des valeurs intermédiaires.

    Je t'explicite un peu ce théorème , dans la version utile à ton exercice :

    g est continue et strictement monotone sur un intervalle I dont l'image par g est J, donc tout élément β\betaβ de J a un antécédent unique α\alphaα dans I, c'est à dire :
    il existe un élément unique α\alpha α de I tel que g(α)=βg(\alpha)=\betag(α)=β

    Dans ton exercice :
    I=]0,+∞[I=]0,+\infty[I=]0,+[
    J=R=]−∞,+∞[J=R=]-\infty,+\infty[J=R=],+[
    β=0\beta=0β=0
    α\alphaα est l'élément unique tel que g(α)=0g(\alpha)=0g(α)=0

    Bonne réflexion.


  • mtschoon

    Merci Noemi d'avoir déplacer ce topic en "Terminale"


  • mtschoon

    @Wil-Fried , bonjour,

    Si tu veux un cours approfondi sur le TVI, tu peux regarder ici :
    http://maths.desfontaines.free.fr/IMG/pdf/Quand_et_comment_utiliser_le_theoreme_des_valeurs.pdf

    Bon approfondissement.


  • Wil Fried

    @mtschoon Ohh merciii🙏🏾


  • mtschoon

    @Wil-Fried , de rien !

    C'est bien de répondre.
    Contente que l'aide te soit utile.


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