Comparaison d'expressions avec des radicaux.

[sosthene Barcelone]

Bonjour messieurs dames pouvez vous m'aider

Comparons 3-2racine de 2 et 2racine6 -5

[Noemi]

Bonsoir sosthene-Barcelone,
$3-2\sqrt{2}$ est un nombre positif et
$2\sqrt{6}-5$ est un nombre négatif,
donc .....

[mtschoon]

Bonjour,

Autre façon, sans trouver directement le signe de chaque nombre.

Calcule le signe de la différence A des deux nombres, mais ce n'est pas plus facile, au contraire...

$A=(3-2\sqrt{2})-(2\sqrt{6}-5)=3-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}+5$
$A=8-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}$
$A=8-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}\sqrt{3}$
$A=8-2\sqrt{2}(1+\sqrt{3})$

Par encadrement :
$1.4<\sqrt{2}<1.42$
$1.7<\sqrt{3}<1.74$
d'où :
$7.56<2\sqrt{2}(1+\sqrt{3})<7.78$

d'où le signe de A, d'où la conclusion.

[mtschoon]

Re-bonjour,
Peut-être une méthode plus pertinente par équivalence logique et élévation au carré (entre nombres positifs)

$3-2\sqrt{2}>2\sqrt{6}-5$, appelée (*) , à prouver.

( * )<=> $8>2\sqrt{2}+2\sqrt{6}$
( *) <=> $8>2\sqrt{2}(1+\sqrt{3})$
( * ) <=> $4>\sqrt{2}(1+\sqrt{3})$
( * ) <=> $16>2(1+\sqrt{3}{)}^2$ (par élévation au carré)
( * ) <=> $8>(1+\sqrt{3}{)}^2$
( * ) <=> $8>1+3+2\sqrt{3}$
( * ) <=> $4>2\sqrt{3}$
( *) <=> $2>\sqrt{3}$
( * ) <=> $4>3$ (**) (par élévation au carré)

(**) est vraie, donc, par équivalences logiques, ( * ) est vraie.