Comparaison d'expressions avec des radicaux.


  • sosthene Barcelone

    Bonjour messieurs dames pouvez vous m'aider

    Comparons 3-2racine de 2 et 2racine6 -5


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir sosthene-Barcelone,
    3−223-2\sqrt2322 est un nombre positif et
    26−52\sqrt6-5265 est un nombre négatif,
    donc .....


  • mtschoon

    Bonjour,

    Autre façon, sans trouver directement le signe de chaque nombre.

    Calcule le signe de la différence A des deux nombres, mais ce n'est pas plus facile, au contraire...

    A=(3−22)−(26−5)=3−22−26+5A= (3-2\sqrt 2)-(2\sqrt 6-5)=3-2\sqrt 2-2\sqrt 6+5A=(322)(265)=32226+5
    A=8−22−26A=8-2\sqrt 2-2\sqrt 6A=82226
    A=8−22−223A=8-2\sqrt 2-2\sqrt 2\sqrt 3A=822223
    A=8−22(1+3)A=8-2\sqrt 2(1+\sqrt 3)A=822(1+3)

    Par encadrement :
    1.4<2<1.421.4 \lt \sqrt 2\lt 1.421.4<2<1.42
    1.7<3<1.741.7\lt \sqrt 3\lt 1.741.7<3<1.74
    d'où :
    7.56<22(1+3)<7.787.56\lt 2\sqrt 2(1+\sqrt 3)\lt 7.787.56<22(1+3)<7.78

    d'où le signe de A, d'où la conclusion.


  • mtschoon

    Re-bonjour,
    Peut-être une méthode plus pertinente par équivalence logique et élévation au carré (entre nombres positifs)

    3−22>26−53-2\sqrt 2\gt 2\sqrt 6-5322>265, appelée (*) , à prouver.

    ( * )<=> 8>22+268\gt 2\sqrt 2+2\sqrt 68>22+26
    ( *) <=> 8>22(1+3)8\gt 2\sqrt 2(1+\sqrt3)8>22(1+3)
    ( * ) <=> 4>2(1+3)4\gt \sqrt 2(1+\sqrt3)4>2(1+3)
    ( * ) <=> 16>2(1+3)216\gt 2(1+\sqrt 3)^216>2(1+3)2 (par élévation au carré)
    ( * ) <=> 8>(1+3)28\gt (1+\sqrt 3)^28>(1+3)2
    ( * ) <=> 8>1+3+238\gt 1+3+2\sqrt 38>1+3+23
    ( * ) <=> 4>234\gt 2\sqrt 34>23
    ( *) <=> 2>32\gt \sqrt 32>3
    ( * ) <=> 4>34\gt 34>3 (**) (par élévation au carré)

    (**) est vraie, donc, par équivalences logiques, ( * ) est vraie.


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