Continuité et équation


  • J

    Bonjour à tous,
    J'aurais besoin d'un peu d'aide pour un exercice de mathématiques sur la continuité, nous avons vu que très vaguement cette notion avec notre professeur et j'ai un peu de mal à comprendre.

    Voici l'énoncé :
    Soit la fonction f définie sur R\mathbb{R}R : f(x)=x3+6x2+9x+3f(x)=x^3+6x^2+9x+3f(x)=x3+6x2+9x+3 dont les variations sont les suivantes,
    croissante sur ]−∞;−3]]-\infty;-3]];3], décroissante sur [−3;−1][-3;-1][3;1], croissante sur [−1;+∞[[-1;+\infty[[1;+[. De plus, elle admet un maximum 333 pour x=−3x=-3x=3 et un minimum −1-11 pour x=−1x=-1x=1

    1- Justifier que f est continue sur R\mathbb{R}R
    Ici, j'ai mis car f est un polynôme du troisième degré et on peut dériver la fonction.

    2- Dénombrer les solutions de l'équation f(x)=2f(x)=2f(x)=2
    Ici, je comprend pas vraiment ce que je dois faire

    3- a) Justifier que l'équation f(x)=4f(x)=4f(x)=4 admet une unique solution α\alphaα.
    Ma réponse : Sur l'intervalle ]−∞;−1]]-\infty;-1]];1], f(x)f(x)f(x) est majorée par 333 (donné dans l'énoncé) donc l'équation f(x)=4f(x)=4f(x)=4 n'a pas de solution sur cet intervalle. Ensuite, sur l'intervalle [−1;+∞[[-1;+\infty[[1;+[, f est strictement croissante (énoncé). 444 est compris entre f(−1)=−1f(-1)=-1f(1)=1 et lim⁡x→∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=+\inftyxlimf(x)=+.
    D'après le théorème de bijection, l'équation f(x)=4f(x)=4f(x)=4 admet une unique solution α\alphaα dans [−1;+∞[[-1;+\infty[[1;+[
    Conclusion : on n'a pas de solution à l'équation sur ]−∞;−1]]-\infty;-1]];1] et on a une unique solution sur [−1;+∞[[-1;+\infty[[1;+[. Donc on a une unique solution α\alphaα sur R\mathbb{R}R.

    b) Déterminer un encadrement de α\alphaα à l'unité près.
    Ma réponse : Avec la calculatrice, on trouve : 0<α<10\lt\alpha\lt10<α<1

    Je vous remercie de votre aide et vous souhaite une bonne soirée !


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir Jojo012,

    Pour la question 2, à partir des variations de la fonction pour chaque intervalle si f(x)=2f(x)= 2f(x)=2.

    *Indique tes résultats si tu souhaites une vérification. *


  • J

    Merci de votre réponse, @Noemi ,
    Donc en clair, je dois juste dire que sur ]−∞;−3]]-\infty;-3]];3], il y a une solution, je donne le résultat (c'est x=−3,53x=-3,53x=3,53) ; que sur [−3;−1][-3;-1][3;1], il y a une solution (c'est x=−2,35x=-2,35x=2,35) et que sur [−1;+∞[[-1;+\infty[[1;+[, il y a une solution (c'est x=−0,12x=-0,12x=0,12), je n'ai pas besoin de faire des calculs/d'ajouter des détails comme je les fait dans le 3-a) ?


  • N
    Modérateurs

    @Jojo012

    A la question 2, il est demandé de dénombrer le nombre de solution de l'équation f(x)=2f(x)= 2f(x)=2. Donc tu précises 3 solutions et tu peux indiquer les valeurs approchées.
    Pas de calcul supplémentaire.


  • J

    D'accord, je vous remercie. Bonne soirée !


  • N
    Modérateurs

    @Jojo012

    Bonne soirée.


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