Montrer qu'une fonction admet un centre de symétrie

Bonjour à vous, j'espère que vous allez bien!
Et Joyeux Noël à vous
J'ai un exercice svp!...

Soit $x2x+1\frac{x^2}{x+1}$
1- Variation de f et son graphe ( j'ai pu faire )
2- Calculer $∫01\int_{0}^{1}$ $f (x) d x$ ( j'ai pu faire )
3- Montrer que $f$ admet un centre de symétrie que l'on précisera ( et c'est là que j'arrive pas à faire)

@Wil-Fried , bonsoir,

Vu que tu as étudier la fonction et fait sa représentation graphique, tu as dû constater que le point I(-1,-2) est centre de symétrie.

Pour le prouver , tu peux utiliser une méthode usuelle ;
I(a,b) centre de symétrie <=>(avec les conditions d'exixtence) $f (a - x) + f (a + x) = 2 b$

Ici, tu dois donc démontrer que :
$f (- 1 - x) + f (- 1 + x) = - 4$

Bon calcul.
Reposte si besoin.

Je te mets un lien , si tu veux consulter :
http://dominique.frin.free.fr/premiere/crs1S_parite.pdf

@mtschoon Merci, j'ai trouvé effectivement $- 4$ .
Mais je me disais que vu que la question dit de montrer et après de préciser ce centre, le fait d'utiliser en avance le centre était pas trop "correcte". C'est pourquoi j'étais pas vraiment sur de ma réponse.

@Wil-Fried ,

Je comprends ton souci,..

Le graphique te permet seulement de "conjecturer" que (-1,-2) sont les coordonnées du centre de symétrie.

L'égalité $f (- 1 - x) + f (- 1 + x) = - 4$ prouve que la conjecture est exacte.

Je te mets un lien où l'explication est un peu plus détaillée (mais qui revient au même, aux notations près)
http://www.webclasse.fr/TerminaleS/fonctions/symetrie/symetrie.html

@mtschoon D'accord je comprend!

Bonjour,

On peut y arriver sans conjecture ... c'est sans difficulté, mais un peu long.

Juste pour info :

f(a+x) = (a+x)²/(a+x+1)
f(a-x) = (a-x)²/(a-x+1)

f(a+x) + f(a-x) = (a+x)²/(a+x+1) + (a-x)²/(a-x+1)
f(a+x) + f(a-x) = [(a+x)²*(a-x+1) + (a-x)²*(a+x+1)]/[(a+x+1) * (a-x+1)]
f(a+x) + f(a-x) = [(a²+x²+2ax)(a-x+1) + (a²+x²-2ax)(a+x+1)]/[(a+x+1) * (a-x+1)]
f(a+x) + f(a-x) = (a³+ax²+2a²x-a²x-x³-2ax²+a²+x²+2ax+ a³+ax²-2a²x+a²x+x³-2ax² + a²+x²-2ax)/(a²+ax+a-ax-x²-x +a+x+1)

f(a+x) + f(a-x) = (2a³+2a²+2x²-2ax²)/(a²+2a-x²+1)

f(a+x) + f(a-x) = 2b
(2a³+2a²+2x²-2ax²)/(a²+2a-x²+1) = 2b

2a³+2a²+2x²-2ax² = 2b.(a²+2a-x²+1)

On a donc le système (qui doit être vérifié pour tout x du domaine d'existence) :

2a³+2a² = 2b.(a²+2a+1)
2x²-2ax² = 2b.(-x²)

a³+a² = b.(a²+2a+1)
1-a = -b

b = a-1
a³+a² = (a-1).(a²+2a+1)

a³ + a² = a³+2a²+a-a²-2a-1
0 = -a-1
--> a = -1 et b=-2

Le point I(-1 ; -2) est centre de symétrie.

Bonjour,

@Wil-Fried , je pense que tu n'as pas eu de difficulté pour tes deux premières questions.

Je viens de calculer $I=∫01x2x+1dx\displaystyle I=\int_0^1\dfrac{x^2}{x+1}dx$

sauf erreur, $I=ln2−12I=ln2-\dfrac{1}{2}$

Si tu as besoin d'une vérification, demande.

Bon travail et bon dimanche !

@mtschoon Oui j'ai effectivement trouvé ce que vous avez trouvé!
Ça me rassure là
J'ai appliqué un changement de variable affine.
Par ailleurs, svp j'aimerai savoir à quel moment on utilise le changement de variable affine ( en fait dans mon cas, je l'ai utilisé parce que je me sentais coincé, l'intégration par partie ne marchait pas ), vu que sûrement il y a une remarque à faire( peut-être la forme de l'intégrale..etc..)

@Black-Jack ah d'accord, j'avais essayé ce chemin mais je ne me retrouvais plus après! Merciii

Bonjour,

@Wil-Fried , je regarde tes dernières réflexions sur l'intégrale.

Effectivement, une IPP ne pouvait pas résoudre le problème, et même une double IPP, qui peut être parfois la solution, ne permettait que de tourner en rond...
Avec le changement de variable t=x+1, le calcul se fait en deux lignes seulement.
Personnellement, je n'ai pas de méthode magique à te proposer...la pratique aide beaucoup.

Il y a quelques cas où la méthode est usuelle.
Avec des expressions de la forme $x^2+a^2$ ou $x^2-a^2$ , avec $a≠0a\ne 0$ , le changement de variable $t=xat=\dfrac{x}{a}$ est souvent efficace.
Un exemple,
$I=∫dxx2+4\displaystyle I=\int \dfrac{dx}{x^2+4}$
En prenant $t=x2t=\dfrac{x}{2}$ , $x = 2 t$ , $d x = 2 d t$ , on obtient
$I=∫2dt4t2+4=12∫dtt2+1=12Arctant+C\displaystyle I=\int \dfrac{2dt}{4t^2+4}=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{dt}{t^2+1}=\dfrac{1}{2}Arctant+C$
$I=12Arctan(x2)+C\displaystyle I=\dfrac{1}{2}Arctan(\dfrac{x}{2})+C$

Avec les fonctions trigonométriques, il y a aussi des changements de variables usuelles, mais non affines.

@mtschoon Merciii pour cette nouvelle méthode, je ne la connaissais pas celle là.

@mtschoon Mais il y a une qui dit que lorsque l'intégrale est de la forme $U^{'} (x) \times V (U (x))$ alors on applique un changement de variable. Ça vous dis quelque chose ? Si oui, je comprend pas cette méthode svp.

Bonjour,

Quand la fonction à intégrer est un quotient de polynomes dont le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur ... la meilleure voie à suivre est de faire la division.

Si on ne sait pas faire une division euclidienne ... on peut faire ainsi :

x²/(x+1) = (x²-1+1)/(x+1) = ((x-1)(x+1) + 1)/(x+1)
x²/(x+1) = (x-1) + 1/(x+1)

Et on a donc immédiatement $∫x2x+1dx=∫(x−1)dx+∫1x+1dx\int \frac{x^2}{x+1} dx = \int (x-1) dx + \int \frac{1}{x+1} dx$

$∫x2x+1dx=x22−x+ln∣x+1∣\int \frac{x^2}{x+1} dx = \frac{x^2}{2} - x + ln|x+1|$

Et donc $∫01x2x+1dx\int _0^1 \frac{x^2}{x+1} dx$ = 1/2 - 1 + ln(2) = -1/2 + ln(2)

Bonjour,

@Wil-Fried , je te réponds au sujet de la formule de changement de variable que tu donnes dans ton dernier message.

C'est la formule usuelle :

$∫V(U(x)).U′(x)dx=∫V(t)dt\int V(U(x)).U'(x)dx=\int V(t) dt$

Il suffit de poser $U (x) = t$ alors $U^{'} (x) d x = d t$

@Wil-Fried , je te mets un exemple, pour t'éclairer sur les notations.

$I=∫x1+x2dx=12∫1+2x.2xdx\displaystyle I=\int x\sqrt{1+x^2}dx=\dfrac{1}{2}\int\sqrt{1+2x}.2x dx$

Ici, La fonction $V$ est la fonction racine carrée
$U(x)=1+x^2=t$
$U^{'} (x) = 2 x$
$2 x d x = d t$

$I=12∫tdt\displaystyle I=\dfrac{1}{2}\int \sqrt tdt$

Après transformation,
$I=13t32+C=13(1+x2)32+CI=\dfrac{1}{3}t^{\dfrac{3}{2}}+C=\dfrac{1}{3}(1+x^2)^{\dfrac{3}{2}}+C$

En bref, je pense que tu connais la méthode de changement de variable mais que les notations t'ont perturbé.

@mtschoon Bonjour.
Merci pour l'exemple!

De rien @Wil-Fried ,

J'espère que les notations ne te gênent plus dans les changements de variable .

@mtschoon En fait, quand on dit CHANGEMENT DE VARIABLE ET CHANGEMENT DE VARIABLE AFFINE, c'est pareil ??

@Wil-Fried ,

Un changement de variable affine est du type t=ax+b (d'où le terme "affine").
Suivant les intégrales à traiter , il peut y avoir des changements autres . $t=x^2$ ou $t = s i n x$ etc.

@mtschoon Ah ok je vois!
Je profite pour poser une autre préoccupation ( j'espère que ça ne dérange pas ).
Je dois démontrer que : $∀\forall$ $x$ $∈\in$ $R\mathbb{R}$ $x2−x+1\sqrt{x^2-x+1}$ $≥\geq$ $−x+12-x+\frac{1}{2}$
J'y arrive pas svp.

Bonjour Wil-Fried,

Pour un autre exercice, il faut proposer un autre sujet.

Bonjour @Noemi
C'est compris, je le fais tout de suite.