Les études de fonctions

Bonjour à tous ! J'ai un exercice sur les exponentielles à compléter pour la rentrée, je ne suis pas sûre de mes réponses pourriez-vous m'aider svp ?

Voici l'énoncé:
Soit g la fonction définie par: g(x) = e^x-xe^x+1

Déterminer les limites de g en -l'infini et en +l'infini. Que peut on en déduire pour la représentation graphique de la fonction g ?
Déterminer les asymptotes éventuelles de la représentation graphique de g .
Etablir le tableau de variations complet de la fonction g .
a) Démontrer que l'équation g (x) = 0 admet sur R une unique solution. On note alpha cette solution.
b) A l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude 10^2 de alpha.
c) Montrer que e^alpha = 1/alpha-1
Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x

Voici mes réponses:

Quand x tend vers plus l'infini:
g(x)= e^x(1-x)+1
Donc la limite de e^x = + l'infini
La limite de 1-x = moins l'infini
La limite de 1 = 1
Par opération sur les limites on obtient lim g(x)= moins l'infini

Quand x tend vers moins l'infini:
La limite de e^x=0
La limite de xe^x= 0
La limite de 1=1
Par opération de limites, on obtient lim g(x)= 1

Mais par contre je ne comprends pas ce qu'ils veulent dire par "Que peut on en déduire pour la représentation graphique de la fonction g"?

Je ne suis pas sûre du tout. Il y a une asymptote horizontale y=1 ? C'est tout ?
Pour le tableau de variations j'y suis bien arrivée, j'ai calculé g(0)=2, j'ai dérivé g'(x)= -xe^x. Ce qui fait que j'ai d'abord + et - pour la dérivée (parce que le coeff devant x est négatif) et une courbe strictement croissante de 1 à 2 puis décroissante de 2 à moins l'infini pour g(x).
a) Il faut montrer qu'il y a un changement de signe, une continuité, et une stricte monotonie.
--> La fonction g est dérivable, donc continue sur R
--> Comme vu dans le tableau de variations, la fonction est strictement décroissante sur [0; plus l'infini[
--> g(-4) = 1,09 et g(4)= -162,8, donc il y a bien un changement de signe dans R. Aussi, 0 est une valeur intérmédiaire de g dans R, car g(0)= 2 et lim g(x)= - l'infini (quand x tend vers + l'infini)
Donc g(x)=0 admet une unique solution alpha sur R.

b) Je peux lire sur la calculatrice:
--> g(1)=1 et g(2)= 6,4, donc 1<alpha<2
--> g(1,2)= 0,3 et g(1,3)= -0,1, donc 1,2 < alpha < 1,3
--> g(1,27)= 0,04 et g(1,28)= -0,007, donc 1,27< alpha < 1,28

c) g(alpha) = 0
Donc (1-alpha ) e^alpha +1 = 0
(1-alpha ) e^alpha = -1
e^alpha = -1/1-alpha = 1/alpha-1

J'ai répondu grâce au tableau de variation et à la définition de alpha
--> Pour - l'infini < x <0, on a g(x)>1
--> Pour 0 <x<alpha, g(0)>g(x)>g(alpha)=0, on a g(x)>0
--> Pour x>alpha, g(x)<g(alpha)=0, donc g(x)<0;
Alors g(x)<0 pour x>alpha et g(x)>0 pour x<alpha

C'était très long à taper
Merci d'avance pour votre aide !

Bonjour Aïcha-Pelipa,

Pour $x$ tendant vers $−∞-\infty$ la limite est finie et vaut 1, cela indique que la droite d'équation $y = 1$ est asymptote horizontale à la courbe.

Tu peux éventuellement rechercher s'il existe une asymptote oblique en calculant la limite en $+∞+\infty$ de $g(x)x\dfrac{g(x)}{x}$

L'ensemble est juste.

D'accord merci beaucoup ! Mais pour la représentation graphique de la question 1 je ne comprends pas ce qu'il faut dire...

@A-666

Tu indiques que la courbe admet une asymptote horizontale.

Ah il ne faut pas le dire dans la question 2 ?

@A-666

Oui tu l'indiques dans la question 1. C'est à partir du résultat des limites que l'on peut déduire l'existence d'une asymptote.

Merci pour votre réponse.
Donc pour la 1., je dis juste que la représentation graphique de g contient une asymptote.
Et dans la 2, je dis que y=1. C'est ça ?

@A-666

Pour la question 1, tu peux préciser que $y = 1$ est asymptote horizontale.

Pour la question 2, tu peux vérifier s'il existe ou non une asymptote oblique en calculant la limite de $f(x)x\dfrac{f(x)}{x}$ en $+∞+\infty$ .

D'accord merci beaucoup !