PGCD et PPCM

[zéli@]

Si je me souviens bien, rien n'est moins sûr, c'est grâce à ces formules que je pourrais répondre aux questions de ce genre :

combien 2002 a-t-il de diviseurs entiers naturels si l'on sait que 2002 = 2 * 7 * 11 * 13 ?

Alors voivi ma question : avez vous les formules de "l'ancien temps" qui sont bcp moins compliquées et bcp plus accessibles pour moi que les formules avec Euclide et consort.
A moins qu'il ne s'agisse encore d'autre chose ? Mais quoi ???

[Zauctore]

rien à voir avec l'ancien temps

de façon générale, le nombre n = $p^a$ $q^b$ ... $r^c$, décomposé en produit de puissances de nombres premiers, possède au total (a+1)(b+1)...(c+1) diviseurs positifs.

[zéli@]

Bonsoir !

Alors, si n = 2002, $2=p^a$ etc. mais je ne vois pas comment trouver a, b ,c et d à partir de 7, 11, 13, à moins que ce ne soient tous des ${}^1$ et ça ferait 16 diviseurs entiers naturels ? Je sens que je me trompe complètement :rolling_eyes:

Est-ce que avec l'exemple 6912 = 4 x 27 x 64
ça ferait a = 2 , b = 3 et c = 3
donc (2+1) (3+1) (3+1) = 48 diviseurs entiers naturels ???

Je suis vraiment désolée. Je crois bien que je ne comprends pas grand chose...
Merci d'être indulgent...

[Jeet-chris]

Salut.

Il suffit, comme le dit Zauctore, de suivre la schéma suivant:

1. Décomposer le nombre en produit de facteurs premiers.
2. Calculer le produit des puissances augmentées d'une unité(en fait c'est le nombre de nombres différents que l'on peut faire avec ces nombres premiers, c'est des formules de probabilité).

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Par exemple, prenons 6912.

1. $6912=4<em>27</em>64=2$^2$\ast 3$^3$\ast 2^6$

=> $6912=2$^8$\ast 3^3$

2. Les puissances sont 8 et 3.

Donc le nombre de diviseurs cherché est (8+1)(3+1)=36.

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En ce qui concerne le nombre 2002:

1. 2, 7, 11 et 13 sont des nombres premiers. Donc tu as déjà la décomposition.

$2002=2$^1$\ast 7$^1$\ast 11$^1$\ast 13^1$

2. Les puissances sont 1, 1, 1 et 1.

Donc le nombre de diviseurs différents est (1+1)(1+1)(1+1)*(1+1)=16

@+

[zéli@]

Merci, je viens de comprendre, enfin, pourquoi je me suis trompée avec 6912 !!! Effectivement si j'avais décomposé moi même 6912, j'étais censée trouver directement $2^8$.
J'ai vraiment bcp de pain sur la planche pdt tt ce mois-ci pour espérer avoir plus de 10 à mon QCM