Besoin d'aide pour étude de fonction

Bonjour tout le monde. J'ai besoin d'aide svp
On donne $f(x)=x2−x+1−xf(x)=\sqrt{x^2-x+1}-x$ définie sur $R\mathbb{R}$
-Démontrer que la droite $(D)$ d'équation $Y=−2x+12Y=-2x+\frac{1}{2}$ est asymptote à la courbe de $f$ en $−∞-\infty$
-Démontrer que $∀\forall$ $x$ $∈\in$ $R\mathbb{R}$ $x2−x+1\sqrt{x^2-x+1}$ $≥\geq$ $−x+12-x+\frac{1}{2}$
-En déduire la position relative de $(C f)$ par rapport à $(D)$ .
Ce sont les deux dernières questions qui me stoppent svp...( l'avant-dernière en vrai, car la dernière est la conséquence de l'avant)

@Wil-Fried , bonjour,

Il doit y avoir une erreur.
La droite d'équation $y=−2x+12y=-2x+\dfrac{1}{2}$ ne semble pas être asymptote à la courbe

C'est $y=−x+12y=-x+\dfrac{1}{2}$ , vu la suite des questions.

Bonjour Wil-Fried,

L'équation de l'asymptote est $y=−x+12y=-x+\dfrac{1}{2}$ .
Pour la question 2,
2 cas à étudier
si $x≤12x\le\dfrac{1}{2}$ tu peux élever au carré.

si $x≥12x\ge\dfrac{1}{2}$

@mtschoon La limite de f(x)-Y donne pourtant 0 ( sauf erreur de ma part) donc Y est asymptote à Cf

@Noemi Si tel est le cas, je crois que l'expression de la fonction f change! Je vous suit pas vraiment.

@Wil-Fried

Vérifie l'énoncé et tes calculs.

@Noemi J'ai pas fais d'erreurs dans l'énoncé

@Wil-Fried ,

Je pense que tu as fait tout simplement une faute de frappe dans la question 1) : il y a un "2" de trop.

L'équation de l'asymptote est $y=−x+12y=-x+\dfrac{1}{2}$
et $lim⁡x→−∞f(x)−(−x+12)=0\displaystyle \lim _{x\to -\infty} f(x)-(-x+\dfrac{1}{2})=0$

@mtschoon Ok, concernant mes deux dernières questions ?

@mtschoon J'ai rectifié la fonction, je suis vraiment désolé, il y a avait un $- x$ qui manquait. Excusez moi!

@Wil-Fried , D'accord .

Avec $f(x)=x2−x+1−xf(x)=\sqrt{x^2-x+1}-x$ , l'asymptote oblique est bien $y=−2x+12y=-2x+\dfrac{1}{2}$

Tout est clair maintenant.

@Noemi t'a donné la piste pour
$x2−x+1≥−x+12\sqrt{x^2-x+1}\ge -x+\dfrac{1}{2}$

J'explicite un peu si besoin.

Pour faire disparaître la racine carrée, il faut faire une élévation au carré.
Pour a et b positifs, $a≥b\boxed{a\ge b}$ <=> $a2≥b2\boxed{a^2\ge b^2}$

Ici le membre de gauche de l'inéquation $x2−x+1\sqrt{x^2-x+1}$ est positif
Il y a une discussion à faire sur le membre de droite.

1er cas : $−x+12<0-x+\dfrac{1}{2} \lt 0$ <=> $x>12x\gt \dfrac{1}{2}$
Le membre de gauche de l'inéquation est positif, le membre de droite est strictement négatif, donc l'inéquation est satisfaite.

2eme cas : $−x+12≥0-x+\dfrac{1}{2} \ge 0$ <=> $x≤12x\le \dfrac{1}{2}$
Les deux membres de l'inéquation sont positifs dont l'élévation au carrée est régulière.
Tu obtiens donc : $x2−x+1≥(−x+12)2x^2-x+1\ge (-x+\dfrac{1}{2})^2$ à résoudre.

Tu développes le carré, et tu dois aboutir à la conclusion souhaitée.

@mtschoon J'ai trouvé !! Merciiiii!

De rien @Wil-Fried ,

J'espère que tu as trouvé la conséquence (qui est le but de la question)

Pour tout x réel : $x2−x+1≥−x+12\sqrt{x^2-x+1}\ge -x+\dfrac{1}{2}$

En ajoutant $- x$ de chaque côté :

$x2−x+1−x≥−2x+12\sqrt{x^2-x+1}-x\ge -2x+\dfrac{1}{2}$

c'est à dire $f(x)≥−2x+12f(x)\ge -2x+\dfrac{1}{2}$

Tu peux ainsi conclusion sur la position de la courbe par rapport à l'asymptote.

@mtschoon Oui, la courbe $C f$ est au dessus de $(D)$ sur $R\mathbb{R}$

@Wil-Fried , tout semble bon.

Une réflexion qui n'a rien à voir avec l'asymptote :
L'énoncé dit que f est définie sur $R$ .
Pour le légitimer, ce serait bien de prouver que pour tout $x$ de $R$ : $x2−x+1≥0x^2-x+1\ge 0$
Evidemment, si l'énoncé l'affirme, ce n'est pas nécessaire de le faire, mais je trouve dommage que ce ne soit pas demandé...

@mtschoon Oui vous avez raison. En effet j'ai calculer le discriminant, étant négatif, j'ai alors conclus que le polynôme est bien positif d'où f est positive.

@Wil-Fried , c'est très bien si tu l'as fait !

Fais attention aux notations.
Ce n'est pas f qui est positive, c'est $x^2-x+1$ , pour que $x2−x+1\sqrt{x^2-x+1}$ existe, et dans ce cas, bien sûr,
$x2−x+1\sqrt{x^2-x+1}$ est une expression positive.
Je pense que c'est ce que tu voulais dire.

Bon travail !