Besoin d'aide pour étude de fonction


  • Wil Fried

    Bonjour tout le monde. J'ai besoin d'aide svp
    On donne f(x)=x2−x+1−xf(x)=\sqrt{x^2-x+1}-xf(x)=x2x+1x définie sur R\mathbb{R}R
    -Démontrer que la droite (D)(D)(D) d'équation Y=−2x+12Y=-2x+\frac{1}{2}Y=2x+21 est asymptote à la courbe de fff en −∞-\infty
    -Démontrer que ∀\forall xxx ∈\in R\mathbb{R}R x2−x+1\sqrt{x^2-x+1}x2x+1 ≥\geq −x+12-x+\frac{1}{2}x+21
    -En déduire la position relative de (Cf)(Cf)(Cf) par rapport à (D)(D)(D).
    Ce sont les deux dernières questions qui me stoppent svp...( l'avant-dernière en vrai, car la dernière est la conséquence de l'avant)


  • mtschoon

    @Wil-Fried , bonjour,

    Il doit y avoir une erreur.
    La droite d'équation y=−2x+12y=-2x+\dfrac{1}{2}y=2x+21 ne semble pas être asymptote à la courbe

    C'est y=−x+12y=-x+\dfrac{1}{2}y=x+21 , vu la suite des questions.


  • N
    Modérateurs

    Bonjour Wil-Fried,

    L'équation de l'asymptote est y=−x+12y=-x+\dfrac{1}{2}y=x+21.
    Pour la question 2,
    2 cas à étudier
    si x≤12x\le\dfrac{1}{2}x21 tu peux élever au carré.

    si x≥12x\ge\dfrac{1}{2}x21


  • Wil Fried

    @mtschoon La limite de f(x)-Y donne pourtant 0 ( sauf erreur de ma part) donc Y est asymptote à Cf


  • Wil Fried

    @Noemi Si tel est le cas, je crois que l'expression de la fonction f change! Je vous suit pas vraiment.


  • N
    Modérateurs

    @Wil-Fried

    Vérifie l'énoncé et tes calculs.


  • Wil Fried

    @Noemi J'ai pas fais d'erreurs dans l'énoncé


  • mtschoon

    @Wil-Fried ,

    Je pense que tu as fait tout simplement une faute de frappe dans la question 1) : il y a un "2" de trop.

    L'équation de l'asymptote est y=−x+12y=-x+\dfrac{1}{2}y=x+21
    et lim⁡x→−∞f(x)−(−x+12)=0\displaystyle \lim _{x\to -\infty} f(x)-(-x+\dfrac{1}{2})=0xlimf(x)(x+21)=0


  • Wil Fried

    @mtschoon Ok, concernant mes deux dernières questions ?


  • Wil Fried

    @mtschoon J'ai rectifié la fonction, je suis vraiment désolé, il y a avait un −x-xx qui manquait. Excusez moi!


  • mtschoon

    @Wil-Fried , D'accord .

    Avec f(x)=x2−x+1−xf(x)=\sqrt{x^2-x+1}-xf(x)=x2x+1x , l'asymptote oblique est bien y=−2x+12y=-2x+\dfrac{1}{2}y=2x+21

    Tout est clair maintenant.

    @Noemi t'a donné la piste pour
    x2−x+1≥−x+12\sqrt{x^2-x+1}\ge -x+\dfrac{1}{2}x2x+1x+21

    J'explicite un peu si besoin.

    Pour faire disparaître la racine carrée, il faut faire une élévation au carré.
    Pour a et b positifs, a≥b\boxed{a\ge b}ab <=> a2≥b2\boxed{a^2\ge b^2}a2b2

    Ici le membre de gauche de l'inéquation x2−x+1\sqrt{x^2-x+1}x2x+1 est positif
    Il y a une discussion à faire sur le membre de droite.

    1er cas : −x+12<0-x+\dfrac{1}{2} \lt 0x+21<0 <=> x>12x\gt \dfrac{1}{2}x>21
    Le membre de gauche de l'inéquation est positif, le membre de droite est strictement négatif, donc l'inéquation est satisfaite.

    2eme cas : −x+12≥0-x+\dfrac{1}{2} \ge 0x+210 <=> x≤12x\le \dfrac{1}{2}x21
    Les deux membres de l'inéquation sont positifs dont l'élévation au carrée est régulière.
    Tu obtiens donc : x2−x+1≥(−x+12)2x^2-x+1\ge (-x+\dfrac{1}{2})^2x2x+1(x+21)2 à résoudre.

    Tu développes le carré, et tu dois aboutir à la conclusion souhaitée.


  • Wil Fried

    @mtschoon J'ai trouvé !! Merciiiii!


  • mtschoon

    De rien @Wil-Fried ,

    J'espère que tu as trouvé la conséquence (qui est le but de la question)

    Pour tout x réel : x2−x+1≥−x+12\sqrt{x^2-x+1}\ge -x+\dfrac{1}{2}x2x+1x+21

    En ajoutant −x-xx de chaque côté :

    x2−x+1−x≥−2x+12\sqrt{x^2-x+1}-x\ge -2x+\dfrac{1}{2}x2x+1x2x+21

    c'est à dire f(x)≥−2x+12f(x)\ge -2x+\dfrac{1}{2}f(x)2x+21

    Tu peux ainsi conclusion sur la position de la courbe par rapport à l'asymptote.


  • Wil Fried

    @mtschoon Oui, la courbe CfCfCf est au dessus de (D)(D)(D) sur R\mathbb{R}R


  • mtschoon

    @Wil-Fried , tout semble bon.

    Une réflexion qui n'a rien à voir avec l'asymptote :
    L'énoncé dit que f est définie sur RRR.
    Pour le légitimer, ce serait bien de prouver que pour tout xxx de RRR : x2−x+1≥0x^2-x+1\ge 0x2x+10
    Evidemment, si l'énoncé l'affirme, ce n'est pas nécessaire de le faire, mais je trouve dommage que ce ne soit pas demandé...


  • Wil Fried

    @mtschoon Oui vous avez raison. En effet j'ai calculer le discriminant, étant négatif, j'ai alors conclus que le polynôme est bien positif d'où f est positive.


  • mtschoon

    @Wil-Fried , c'est très bien si tu l'as fait !

    Fais attention aux notations.
    Ce n'est pas f qui est positive, c'est x2−x+1x^2-x+1x2x+1 , pour que x2−x+1\sqrt{x^2-x+1}x2x+1 existe, et dans ce cas, bien sûr,
    x2−x+1\sqrt{x^2-x+1}x2x+1 est une expression positive.

    Je pense que c'est ce que tu voulais dire.

    Bon travail !


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