DM SUR LES NOMBRES COMPLEXES

Bonjour, j'ai un dm à rendre pour la rentrée mais je bloque un peu sur la première question...

Voici l'énoncé :

Pour tout nombre complexe z = x + iy, on associe le complexe Z = z² - 2iz + 2

1- Ecrire Z sous forme algébrique en fonction de x et de y

Je ne sais pas si il faut que je développe Z ou si il faut plutôt que je calcule le discriminant vu que nous sommes sur un polynôme du second degré

J'ai tenté de faire les deux, pour le développement je finis par être bloquée :
Z = (x + iy)² - 2i (x + iy) + 2
= x² + 2xiy - y² - 2ix + 2y + 2
à partir de là je ne sais pas vraiment quoi faire, j'ai tenté de mettre 2 en facteur mais ca ne m'a servit à rien...

Pour le discriminant, j'ai fait :
delta = b² - 4ac
= (-2i)² - 4 x 1 x 2
= (-2)² x (-1) - 8
= -4 - 8 = -12
j'en ai déduit que -12 était le carré de 12i
ensuite j'ai fait z1 = -2i - 12i / 2
mais a partir de la je bloque pour trouver une forme algébrique...

Pouvez-vous m'aider sur cet exercice de maths ? Merci d'avance

Bonjour Laëtitia,

Le début est juste.
Tu ordonnes partie réelle et partie imaginaire .
$Z=x^2-y^2+2y+2+i(2xy-2x)$

Merci beaucoup pour ta réponse, j'ai suivi tes conseils et j'ai pu du coup répondre aux deux questions, la troisième est "la réciproque est-elle vraie", il faut donc que je vois si, lorsque Z est réel, z est-il forcement imaginaire pur
J'ai tenté de montrer que cette réciproque est fausse en trouvant des réels x et y permettant de supprimer i
j'ai prix x = 2 et y = 1 puis j'ai résolu l'équation :
(x² - y² + 2y + 2) + i(2xy - 2x)

(2²- 1² + 21 + 2) + i(221 - 22)

= 7 + 0i
est-ce suffisant pour montrer que la réciproque est fausse ? Sachant que j'ai pu démontrer que Z pouvait être un réel même si z n'était pas imaginaire pur

Pour la dernière question j'ai "déterminer l'ensemble des nombres complexes z tel que Z soit réel"

@Laëtitia
Un exemple ne suffit pas.
Si $Z$ est réel alors $2 x y - 2 x = 0$
soit $2 x (y - 1) = 0$
Donc $x = 0$ ou $y = 1$

Exprime $z$ pour chacun des cas et conclus.

si on remplace x par 0 ou y par 1 dans z = x + iy, on trouve soit z = iy donc un imaginaire pur ou z = x + i
dois-je en conclure que la réciproque n'est par toujours vraie ? Même si Z est un réel, z n'est pas toujours un imaginaire pur, donc la réciproque est fausse.

@Laëtitia

C'est exact.