Exercice portant sur la divisibilité dans Z

Bonjour, je suis bloqué à une question d'un exercice, quelqu'un pourrait m'aider ?

Soit n un entier. En utilisant un tableau de restes modulo 4, déterminer les restes possibles de n² modulo 4.
-> Je trouve 1 et 0
En utilisant un tableau à double entrée, déterminer les restes possibles de x² + y² modulo 4.
-> je trouve 0, 1 et 2
montrer que si x² + y² alors au moins l'un des deux nombres est pair.

J'ai d'autres questions pour plus tard mais cela m'aiderait déjà pas mal.
Merci !

j'ai oublié des mots à la q3 c'est : si x² + y² EST UN CARRE alors .... nombres X OU Y est pair.

@gregory Bonjour,

Le début est juste.

Vérifie la question 3, elle est incomplète.

D'accord merci
Oui elle est incomplète mais je l'ai complété en dessous. Je la redonne complète :

Montrer que si x² + y² est un carré alors au moins l'un des deux nombres x ou y est pair.

@gregory

Utilise les résultats des questions précédentes.
Si $x^2+y^2$ est égal à $z^2$ les restes possibles sont ....
....

les restes possibles sont 1 et 2 mais je ne vois pas en quoi cela m'aide...
(j'

@gregory

Pour un carré, réponse question 1, les restes possibles sont 0 ou 1 ( et non 1 et 2).
Et dans le tableau de la question 2, on trouve des 2 dans le cas ou .....

on en trouve uniquement lorsque les deux nombres sont impairs

@gregory
Donc tu peux conclure.

mais il faut montrer qu'au moins l'un des deux nombre x ou y est pair or la ils sont tous deux impairs

je crois avoir trouvé, on voit dans le tableau de la q2 que on trouve 1 seulement lorsque l'un des deux nombre est pair (exemple x= 4 et y=1). or 1 est un carré puisque 1² = 1

@gregory

Si les deux nombres sont impairs, le reste de la somme des carrés est 2. Donc
si les deux nombres sont pairs ou si l'un des deux est pair (ce qui correspond à au moins l'un des deux est pair) alors le reste de la somme des carrés est 0 ou 1.
Ce qui correspond aux restes possibles d'un carré.

ah oui d'accord merci beaucoup j'ai compris !

j'ai pas mal avancé et je bloque à une autre question :

Soit p et q deux entiers naturels non nuls tel que p>q. On pose x1=p²-q² et x2 = 2pq.

Justifier que x1 et x2 sont des entiers naturels non nul.
-> c'est fait
Montrer que x1²+ x2² est le carré d'un entier.
-> je n'y arrive pas.
Merci pour le temps que vous me consacrez.

@gregory

Calcule $x_1^2+x_2^2$
soit $p^2-q^2)^2+ 4p^2q^2 = ....$
Utilise les identités remarquables.

je trouve cela:
(p²-q²)² + 4p²q² = pe4 -2p²q²+qe4+4p²q² = pe4+2p²q²+qe4 = (p²+q²)².
C'est correcte ?

c'est bien le carré d'un entier car p et q sont deux entiers naturels et la somme de deux entiers naturels au carré donne un entier naturel

donc (p² +q²)² = entier ²

@gregory

C'est correct.

D’accord merci.

Soit y un nombre pair au moins égal à 4. Montrer qu'il existe un entier naturel non nul x tel que x²+y² soit le carré d'un entier.
-> je n'arrive pas à la faire, dois-je simplement réutiliser le tableau de la question 2 au tout début ?

@gregory

Utilise le résultat de la question précédente.
$y$ de la forme $2 p q$ avec $p$ un nombre pair.

je ne comprends pas très bien dit comme ça, désolé...

@gregory

Si $y = 2 p q$ avec $p$ pair et supérieur ou égal à 2, $\gt q$ et $x=p^2-q^2$
que peut-on dire de $x^2+y^2$ ?

mais les questions précédentes étaient dans un grand C, celle la est un grand D, je ne suis donc pas sur qu'il faille s'en resservir. Même si c'est le cas, je ne vois toujours pas ce que l'on peut dire de x² + y²...

@gregory

Tu peux faire le lien avec la partie C ou refaire les calculs.
$y$ est un multiplie de 4, donc $y$ peut s'écrire sous la forme $2 p q$ , avec $p$ un nombre pair et $q$ un nombre quelconque avec $p>qp\gt q$ , $p≥2p\geq 2$ et $q≥1q\geq1$ .
Il existe un entier $x$ tel que $x=p^2-q^2$ .
Le calcul de $x^2+y^2$ est égal à $p^2+q^2)^2$ qui est le carré de l'entier $p^2+q^2$

d'accord merci, enfaite cela revient au même qu'à la question précédente...

Je bloque ég

Je bloque également sur la question suivante ( c'est un chapitre que je maitrise encore très mal malgré les nombreuses heures que j'ai passé dessus) , pourriez-vous m'aider ?

Le résultat précédent a été montré pour tout entier pair y au moins égal à 4. Est-il vrai :

si y=2 ? (indication : pour tout entier x et n, x² + 2² = n² équivaut à n²-x² = 4)
pour tout entier naturel non nul y impair ?

@gregory

Si $y = 2$ cela donne $2 p q = 2$ soit $p = q = 1$
soit $x = 0$ et $n = 2$ .

Si $y$ est impair, vu qu'il est nécessaire qu'au moins un des deux nombres soit pair, il faut que $x$ soit pair.

ok donc pour y=2 c'est faux
et pour tout entier naturel non nul impair c'est vrai si x est pair ?

je ne comprends pas pour la deuxième, par exemple si y=3 et x=6 x²+y² = 45 et la racine de 45 n'est pas un entier....

@gregory

Pour $y = 2$ une solution est possible.
Pour $y$ impair, il est nécessaire que $x$ soit pair pour avoir une solution.
Les nombres choisis doivent être de la forme $2 p q$ et $p^2-q^2$ avec p pair et $p>qp\gt q$ .
Donc tu ne peux pas prendre 6, mais par exemple 24 et 7.
Il faut respecter les conditions.

quelle solution pour y=2 puisque x doit être un entier naturel non nul ?

et comment trouvez-vous 24 et 7 ? C'est le hasard ou il y a une méthode ?

je dis donc que 24²+7² = 625 or sqrt(625) = 25 donc c'est vraie pour tout entier non nul y impair ?

@gregory

Si l'énoncé indique que $x$ doit être un entier naturel non nul, alors $y = 2$ n'a pas solution.

Pour trouver une solution, il faut que les nombres soit de la forme :
$2 p q$ et $p^2-q^2$ avec $p>qp\gt q$ et $p$ pair.
Par exemple $p = 6$ et $q = 5$
cela donne 60 et 11

ok merci et après je dis dis que 60²+11² = 3721 =61² donc c'est juste ? C'est cela ?

@gregory

C'est juste un exemple, cela ne permet pas de conclure. Ce sont tous les calculs précédents qui permettent de conclure.

D'accord. Merci infiniment pour tout. Il me reste un exercice que je vais tenter de faire. Je reviendrai vers vous demain si je bloque.
Bonne soirée et bonne année.

@gregory

Bonne Année 2021 et Bonne soirée aussi.