exercice portant sur la divisibilité dans Z

Bonjour, j'ai bien avancé dans mes devoirs grâce à vous et j'ai en partie tout réussi sauf un dernier exercice. Le voici:
Soit x,y et z trois entiers naturels non nuls.
a) Soit n un entier. En utilisant un tableau de restes modulo 8, déterminer les restes possibles de n² modulo 8.
-> je trouve 0, 1 et 4
b) montrer que si x²+y²+z² est un carré alors au moins deux des trois nombres x, y ou z sont pairs
-> je ne sais pas comment faire

j'aurai si vous avez le temps deux autre questions sur lesquelles je bloque par la suite...
Merci beaucoup pour le temps que vous m'accorderez.

@gregory Bonsoir,

Détermine les reste possible pour $x^2+y^2+z^2$ .

0,2 et 3 ?

@gregory

Tu es sur ?

heu non pas vraiment mais c'est modulo 4 ou 8 ? Si c'est huit je dirais 0,1,2,4,8

@gregory

Pour le modulo 8, ce n'est pas préciser dans l'énoncé, donc c'est à vérifier.

c'est à dire à vérifier ? Je demande à mon professeur ?

@gregory

Non, tu vérifies l'énoncé et si cela n'est pas noté, cela doit être 8.
Donc vérifie le calcul des restes de $x^2+y^2+z^2$ .
Et analyse le reste d'un carré pair et d'un carré impair.

okay alors modulo 8 je trouve comme reste possible : 3,6, 0, 1, 4
Est-ce cela ? et les restes possibles d'un carré pair sont 4 et 0

@gregory

Les restes possibles pour $x^2+y^2+z^2$ modulo 8 sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Les restes pour le carré d'un nombre pair sont 0 ou 4.
Le reste pour le carré d'un nombre impair est 1

mais du coup en quoi ces informations me permettent de répondre à la question ? Je ne comprends pas...

@gregory

Tu dois vérifier que $x^2+y^2+z^2$ est un carré si au moins deux des trois nombres sont pairs.
Donc que le reste 0, 1 ou 4 intervient avec au moins deux des trois nombres pairs.
Analyse les différents cas possibles.

@Noemi a dit dans exercice portant sur la divisibilité dans Z :

gregory

mais comment analyser les différents cas possibles ?

@gregory

Des exemples :
Si les trois nombres sont pairs,
le reste peut être :
0+0+0 soit 0
0+4+0, soit 4
0+4+4, soit 0
4+4+4, soit 4

Si deux nombres sont pairs et le troisième impair:
0+0+1 soit 1
4+4+1 soit 1
....

Puis tu conclus

0+4+1 = 5
4+0+1 = 5

Donc dans le cas ou ils son tous pairs c'est bon et dans le cas ou il y a 2 pairs et 1 impair il faut que les deux paires ne se suivent pas ?

dois je continuer avec 1 pair et 2 impairs et 0 pairs ?

@gregory

Tu peux vérifier qu'avec deux ou trois nombres impairs tu n'obtiens pas un carré.

ok donc avec 2 impairs on trouve:
0+1+1 = 2 modulo 8
4+1+1 = 6 modulo 8

avec 3 impairs:
1+1+1 = 3 modulo 8

du coup on constate qu'on obtient le résultat d'un carré seulement si x²+y²+z² sont trois nombres pairs ou si x²+y²+z² forment deux nombres pairs et un nombre impair et si les deux nombres pairs ne se suivent pas c'est ça ?

@gregory

C'est exact.

d'accord merci beaucoup je pense avoir bien compris maintenant

je ne m'étais pas arrêté à cette question et j'avais travaillé la suivante au brouillon:
Soit z un entier naturel non nul.
a) Déterminer explicitement deux entiers naturels non nuls x1 et x2 tels que x1² + x2² + 12 soit le carré d'un entier.
-> si explicitement signifie simplement tester des nombres pour trouver le bon je n'y parviens pas
b) Déduire de la question précédente qu'il existe deux entiers naturels non nul x et y tels que x²+y²+z² soit le carré d'un entier.
-> comme je bloque à celle d'avant je ne peux pas la faire

Après ces questions tout sera fini

si j'ai trouve c'est bon, 2²+3²+12 = 25 et 5²=25

c'est juste ?

@gregory

L'exemple est bon.
Un autre exemple : $4^2+6^2+12=64=8^2$

d'accord merci mais pour la dernière je ne vois pas quoi faire. Pouvez-vous m'aider ?

@gregory

Peut-on déduire de la question précédente que si à la place de 12, on met un nombre au carré, il existe deux entiers naturels qui vérifient la propriété ?

oui puisque x²+y²+z² = N²

c'est ce que je dois dire ? et de plus ce nombre doit être pair non ?

ou je mélange tout ?

@gregory

Cette partie est-elle liée aux questions posées au début avec modulo 8 ?
Si la déduction est à faire avec juste le résultat de la question a), il faut indiquer qu'il existe deux entiers naturels $x$ et $y$ vérifiant $x^2+y^2+a=k^2$ avec a entier naturel.
donc comme z^2 est aussi un entier naturel , il existe deux entiers naturels $x$ et $y$ vérifiant :
$x^2+y^2+z^2=h^2$

oui elles appartiennent à la même partie

c'est ce que je pensais mais je m'étais exprimé pas très bien...
Merci !

Bonjour, il y avait une erreur dans une question....
-> Déterminer explicitement deux entiers naturels non nuls x1 et x2 tels que x1² + x2² + 1² soit le carré d'un entier.
du coup je suppose qu'il y

a une méthode logique mais je ne vois pas laquelle, sinon dois-je encore simplement trouver un exemple ?

@gregory

Un exemple : $4^2+8^2+1^2 = 81$ .

Tu peux reprendre l'étude du début en travaillant avec modulo 10.

okay et pour la question suivante du coup ?

c'est bon finalement. J'ai un petit peu modifié ce que j'avais écrit je pense que c'est correcte.