Probabilité. Pb entre 2méthodes

J'ai dans une urne 4 boules rouges et 3 vertes indiscernables au toucher
Je tire une boule dans l'urne
-si elle est rouge je tire simultanément 2 boules dans l'urne
-si elle est verte je tire successivement sans remise 2 boules dans l'urne
La question c'est de calculer la probabilité d'avoir 3 boules de même couleur??
Le problème pour moi c'est que j'ai deux méthodes qui donne 2 résultats différents; je n'arrive pas à comprendre où est la faute ou laquelle des deux méthodes n'est pas juste ... Merci de votre aide
Voici la première
Je détermine l'univers des possibilités:
card(Ω) = $C_4^1$ × $C_6^2$ + $C_3^1$ × $A_6^2$ = 150
A= « avoir 3 boules de même couleur »
Card(A) = $ C_4^1 $ × $C_3^2$ + $C_3^1$ × $A_2^2$ = 18
Avec $C_4^1$ × $C_3^2$ le nombre de possibilités d’avoir 3 boules rouges
et $C_3^1$ × $A_2^2$ le nombre de possibilités d’avoir 3 boules vertes
Donc P(A) = $Card(A)card(Ω)\frac{ Card(A)}{ card(Ω)}$ = $18150\frac{18}{ 150}$ = $325\frac{3}{ 25}$

La 2ème méthode
$R_1$ = « la boule tirée la 1ère fois est rouge »
$B_1$ = « les 2 boules tirées la 2ème fois sont rouges »
$V_1$ = « la boule tirée la 1ère fois est verte »
$B_2$ = « les 2 boules tirées la 2ème fois sont vertes »
Donc on a :
A= ( $R_1$ ∩ $B_1$ )∪( $V_1$ ∩ $B_2$ ) , avec ( $R_1$ ∩ $B_1$ )∩( $V_1$ ∩ $B_2$ )= ∅
Donc : P(A) = P( $R_1$ ∩ $B_1$ ) + P( $V_1$ ∩ $B_2$ )
= P( $R_1$ ) ×P( $B_1$ / $R_1$ ) + P( $V_1$ ) ×P( $B_2$ / $V_1$ )
= $47\frac{4}{ 7}$ × $C32C62\frac{C_3^2 }{ C_6^2}$ + $37\frac{3}{ 7}$ × $A22A62\frac{A_2^2 }{ A_6^2 }$
= $17\frac{1}{ 7}$
Quelqu’un peut m’expliquer SVP pourquoi j’ai pas eu le même résultat par ces 2 méthodes ?? est ce l’une des 2 méthodes n’est pas correcte pour la résolution de la question ?? Merci pour votre aide

Bonjour,

Les boules étant indiscernables, prendre 3 boules hors de 7 ---> C(7,3) = 35 possibilités différentes.

Pour avoir 3 vertes --> 1 seule possibilté
Pour avoir 3 rouges --> 4 possibilités (C(4,3))

--> Proba de 3 couleurs identiques = (1+4)/35 = 5/35 = 1/7

Autrement :

La proba de tirer une verte au 1er coup est 3/7
Il reste alors 2 vertes sur 6 boules --> La proba de tirer une verte au 2ème coup est 2/6
Il reste alors 1 vertes sur 5 boules --> La proba de tirer une verte au 3ème coup est 1/5
---> proba de tirer 3 vertes = 3/7 * 2/6 * 1/5 = 6/210

Raisonnement similaire pour tirer 3 rouges ---> proba de tirer 3 rouges = 4/7 * 3/6 * 2/5 = 24/210

Donc proba de tirer 3 boules de même couleur = 6/210 + 24/210 = 20/210 = 1/7

On remarquera que tirer 2 boules successivement ou 2 boules simultanément n'a aucune importance dans ce cas ... puisque les tirages sont sans remise et qu'on ne regarde que le résultat final.

@Black-Jack
Bonsoir ; mais vous m'avez pas répondu pour la preemière méthode que j'ai proposée où est la faute ; parceque si j fais l'arbre $R_1R_2R_3;R_1R_2R_4; R_1R_3R_4;R_1R_2V_1$ ... pr la 1ere boule tirée est rouge et de même pour la première boule tirée est verte ; et lorsque je compte suivant l arbre je trouve le nombre de choix possible est $C_4^1×C_6^2 + C_3^1×A_6^2$ = 150
Expliquer moi SVP où est la faute sur ce raisonnement; Merci

@Jcgtt-Yytfyh

L'erreur est dans le calcul du nombre de possibilités.
Si tu différenties les boules de même couleur, le nombre de choix possibles est :
$A_4^1×A_6^2 + A_3^1×A_6^2 = 210$
et comme
$A_4^3=24$ et $A_3^3=6$

la probabilité est égale à $30210=17\dfrac{30}{210}=\dfrac{1}{7}$

@Jcgtt-Yytfyh , bonjour,

Je regarde tes deux versions et te donne mon avis personnel.

Ton exercice est un exercice traitant les probabilités conditionnelles.
Regarde bien ce qui est écrit :
Après la première boule tirée , il est écrit SI...,SI...
Il y a une hiérarchie entre les probabilités.

Tu peux faire un arbre probabiliste , pour t'éclairer.

Premier niveau de branches :

Une branche pour R1 avec la probabilité $C(4,1)C(7,1)=47\dfrac{C(4,1)}{C(7,1)}=\dfrac{4}{7}$

Une branche pour V1 avec la probabilité $C(3,1)C(7,1)=37\dfrac{C(3,1)}{C(7,1)}=\dfrac{3}{7}$

A chaque bout de ces deux branches, tu mets les branches de second niveau avec les probabilités conditionnelles correspondant à SI... et à SI...
Tous les calculs de probabilité se font avec la formule du type :
$p(A∩B)=pB(A)×p(B)p(A\cap B)=p_{B}(A)\times p(B)$

Avec les "anciennes" notations, tu peut écrire :
$p(A∩B)=p(A/B)×p(B)p(A\cap B)=p(A/B)\times p(B)$

C'est ce que tu as fait avec la seconde méthode et c'est la SEULE exacte.

Avec la première méthode que tu proposes, les combinaisons et arrangements sont bien bons (aucune confusion), mais tu ne tiens pas compte du fait qu'il s'agit de probabilités conditionnelles , et tu mets toutes les probabilités au même niveau.
Les formules que tu indiques sont inexactes.
La stratégie globale est fausse et ne respecte absolument pas l'énoncé donné.

Bonnes réflexions.

@Jcgtt-Yytfyh , si ça peut t'être utile je te mets un lien relatif aux probabilités conditionnelles.

https://www.maths-et-tiques.fr/telech/CondGM.pdf

Bonne lecture.

Merci à tous
Merci bcp

@Jcgtt-Yytfyh , de rien !

C'était avec plaisir.