Polynôme de second degré

[Alex Mboyi]

Bonjour comment trouver un polynôme de second degré de racine 2 tel que P(o)=8 merci

[mtschoon]

@Alex-Mboyi ,Bon,jour,

Piste,

$P(x)=a{x}^2+bx+c$ avec $a\ne 0$

Tu résous le système :
P(0)=8
P(2)=0

$P(0)=8$ <=> $c=8$ donc $P(x)=a{x}^2+bx+8$

$P(2)=0$ <=> $4a+2b+8=0$ <=> $b=-4-2a$

Les polynômes cherchés peuvent s'écrire :
$P(x)=a{x}^2+(-4-2a)x+8$ , avec $a\ne 0$
c'est à dire
$P(x)=a{x}^2-(4+2a)x+8$ , avec $a\ne 0$

Exemples,
En prenant $a=1$, $P(x)=x^2-6x+8$
En prenant $a=2$, $P(x)=2x^2-8x+8$

Pour trouver un seul polynôme satisfaisant , il faudrait avoir une condition supplémentaire qui permettrait de trouver une valeur unique pour a.

[Noemi]

@Alex-Mboyi Bonjour,

Si on suppose que ce polynôme n'a qu'une seule racine, on peut écrire :
$P(x)=a(x-2{)}^2$
Pour déterminer la valeur de $a$, on utilise $P(0)=8$.

[mtschoon]

@Alex-Mboyi ,

Je t'ai répondu à ta question , dans le cas général, sachant que, comme tu le dis, le polynôme a pour racine 2, c'est à dire tel que $P(2)=0$

Noemi t'a répondu dans le cas particulier où le polynôme a une seule racine 2

Regarde ton énoncé de près pour savoir exactement de quoi il s'agit (cas général ou cas particulier de la racine unique)

[Alex Mboyi]

@Noemi bonjour c'est exactement cela 2 est une racine double du polynôme

[Noemi]

@Alex-Mboyi

Donc tu peux écrire le calcul pour déterminer la valeur de $a$, soit 2.

$P(x)=a(x-2{)}^2$
comme $P(0)=8$.
$a(0-2{)}^2=8$
Equation à simplifier et à résoudre

[mtschoon]

@Alex-Mboyi , c'est bien d'avoir vérifié ton énoncé ! (tu aurais dû préciser dans ta question d'origine que 2 était la racine double...)

La valeur de a que tu dois trouver est le second exemple de mon "cas général".
$P(x)=2x^2-8x+8=2(x^2-4x+4)=2(x-2{)}^2$