Étude d'une suite intégrale

Bonjour à vous, besoin d'aide svp !
$∀\forall$ $n$ $∈\in$ $N\mathbb{N}$ , $I_n$ = $∫1et²ln(t)ndt\displaystyle\int_{1}^{e}t²ln(t)^n dt$

Calculer $I_0$
J'ai trouvé $I_0$ = $13e3\frac{1}{3}e^3$
Calculer $I_1$
J'ai trouvé $I_1$ = $2e3+19\frac{2e^3 +1}{9}$
$∀n∈N\forall n \in \mathbb{N}$ , trouver une relation de récurrence entre $I_n$ et $I_{n+1}$ .
J'ai trouvé la relation suivante :
$In+1=e3−(n+1)In3I_{n+1} = \frac{e^3-(n+1)I_n}{3}$
Étudier la convergence de la suite $I_n$
Je ne sais pas comment traiter la dernière question svp.

@Wil-Fried, Bonjour,

Vérifie les calculs : $I_0$ et la relation de récurrence.
Calcule $I_2$ .

@Noemi J'ai fais une erreur dans la notation.
C'est plutôt $t²(lnt)^n$ .
Et $I_0$ vaut $13(e3+1)\frac{1}{3}(e^3+1)$
Et $I_1$ c'est correct.

@Wil-Fried

Une erreur de signe dans $I_0$ ,

@Noemi Oui c'est vrai! C'est un $-$ au milieu et non $+$

@Noemi La relation de récurrence est-elle correcte à présent ?

@Wil-Fried

Oui, la relation est correcte.

Bonsoir,

@Wil-Fried , une piste pour la question 4) vu que c'est là où tu bloques.

Tu dois pouvoir prouver, en déterminant le signe de $I{n+1}-I_n$ que la suite $I_n)$ est décroissante.
De plus, en analysant le signe de $I_n$ , tu dois pouvoir prouver que la suite $I_n)$ et à termes positifs (donc minorée par 0)

Toute suite décroissante et minorée est convergente, d'où la conclusion souhaitée.

Reposte si cette étude te pose problème.

@mtschoon Bonsoir,
Excusez, l'étude me pose encore problème.

@mtschoon J'ai du mal à étudier le signe de $I_{n+1}-I_n$

@Wil-Fried , bonjour,

Je détaille un peu.

Tout d'abord, l'énoncé ne te disait pas comment il fallait faire l'étude de la convergence.
C'était ça la difficulté.

Il fallait donc que tu fasses d'abord des conjectures.
Pour cela, tu as déjà $I_0$ , , $I_1$ .
Avec la relation de récurrence trouvée au 3, tu peux calculer successivement $I_3$ , $I_4$ , etc

Façon plus rapide :
Soit $f_n(t)=t^2(lnt)^n$
A la calculette, tu peux faire représenter les courbes $f_0, f_1, f_2,f_3,f_4, etc$ , sur l'intervalle [1,e].
En observant les aires qui représentent $I_0,I_1,I_2,I_3,I_4,etc$ , tu peux aussi conjecturer.

Reste maintenant à faire les démonstrations.

Il faut que tu trouves le signe de $I_{n+1}-I_n$ (seulement le signe, pas la valeur)

$In+1−In=∫1et2(lnt)n+1dt−∫1et2(lnt)ndtI_{n+1}-I_n=\int_1^et^2(lnt)^{n+1}dt-\int_1^e t^2(lnt)^ndt$

$In+1−In=∫1e[t2(lnt)n+1−t2(lnt)n]dtI_{n+1}-I_n=\int_1^e [t^2(lnt)^{n+1}-t^2(lnt)^n]dt$

Tu factorises :
$In+1−In=∫1et2(lnt)n(lnt−1)dtI_{n+1}-I_n=\int_1^e t^2(lnt)^n(lnt-1)dt$

Sur $[1, e]$ , le signe de $I_{n+1}-I_n$ est le signe de $t^2(lnt)^n(lnt-1)$

Tu cherches donc le signe de ce produit de facteurs et tu dois le trouver négatif, d'où la réponse.

Reposte si tu n'y arrives pas.

@mtschoon J'ai réussi avec le signe de $I_{n+1}-I_n$ . Il fallait ensuite que je montre que la suite est à termes strictement positifs pour dire quelle est minorée par 0. Mais j'ai une inquiétude, pour faire cela j'ai étudier le signe de $I_n$ sur $] 1; e [$ . J'ai dis que cela revenait à étudier le signe de $t²(lnt)^n$ or le produit est positif sur $] 1; e [$ . Alors j'en ai déduis que $∫1e\displaystyle\int_{1}^{e}$ ${t²(lnt)^n}$ >0 par conséquent $I_n$ est minorée par 0, étant de plus décroissante elle est donc convergente.
Ma démarche est-elle juste ?

@Wil-Fried , oui, c'est bon.
Tu peux mettre des crochets fermés $[1; e]$ , car le produit positif (au sens large) convient.

@mtschoon Merci! J'aimerais donc savoir, pour connaître le signe d'une intégral, cela revient à donc connaître le signe de la fonction qui est à l'intérieur de cette intégrale ?

@Wil-Fried

Cela dépend de deux choses ; le signe de la fonction et des bornes (inférieure et supérieure) de l'intégrale.

Soit $I=∫abf(x)dxI=\int_a^bf(x)dx$

Dans le cas qui t'intéresse ici : $a = 1$ et $b = e$
$a≤ba\le b$ et $f(x)≥0f(x)\ge 0$ donc $I≥0I\ge 0$

Je te mets un lien :
https://www.youtube.com/watch?v=OeRDaaoVfx0

@Wil-Fried , je résume un peu, pour le signe d'une intégrale , lorsque f est continue et lorsque f(x) ne change pas de signe entre x=a et x=b,

Soit, $I=∫abf(x)dxI=\int _a^b f(x)dx$

Il y a 4 cas possibles

$a≤ba\le b$ et $f(x)≥0f(x)\ge 0$ donc $I≥0I\ge 0$
$a≤ba\le b$ et $f(x)≤0f(x)\le 0$ donc $I≤0I\le 0$
$a≥ba\ge b$ et $f(x)≥0f(x)\ge 0$ donc $I≤0I\le 0$
$a≥ba\ge b$ et $f(x)≤0f(x)\le 0$ donc $I≥0I\ge 0$

Pour faire court, on peut dire que c'est la règle des signes du produit qui intervient.
$(+)×(+)=(+)(+)\times (+)=(+)$
$(+)×(−)=(−)(+)\times (-)=(-)$
$(−)×(+)=(−)(-)\times (+)=(-)$
$(−)×(−)=(+)(-)\times (-)=(+)$

Exemples

$∫12x2dx=73\int_1^2x^2dx=\dfrac{7}{3}$
$∫12−x2dx=−73\int_1^2-x^2dx=-\dfrac{7}{3}$
$∫21x2dx=−73\int_2^1x^2dx=-\dfrac{7}{3}$
$∫21−x2dx=73\int_2^1-x^2dx=\dfrac{7}{3}$

Si tu veux faire une révision simple sur les intégrales, tu peux regarder ici :
http://uel.unisciel.fr/physique/outils_nancy/outils_nancy_ch08/co/apprendre_ch08_04.html

@mtschoon Merci beaucoup pour ce complément!

De rien @Wil-Fried .
J'espère que tu as bien compris cette question de signe d'une intégrale.

@mtschoon Oui oui bien! Je vous remercie beaucoup et aussi @Noemi.

C'est parfait @Wil-Fried si tu as bien compris, et bon travail !