Compléments sur la dérivation

[nisrine]

Bonjour,
j'ai un exercice noté à rendre pour ce lundi ...voici l'énoncé :
Soit $f$ définie sur $R$ par $f(x)=x+1+x{e}^{-x}$. On note $Cf$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. a) déterminer $f^{\prime }$ et $f^{\prime \prime }$ la dérivée seconde de $f$
   b) étudier le sens de variation de $f^{\prime }$.
   c) en déduire que pour tout réel $x$, $f(x)>0$.
   d) dresser le tableau de variation de $f$ sur $R$ .
   e) donner une équation de la tangente à $Cf$ au point d'abscisse 0.
   f) en déduire que, pour tout $x<2$ , $f(x)<2x+1$ .
2. on admet que l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution de $a$
   a) Prouver que sur $R$ résoudre l'équation $f(x)=2$ équivaut à résoudre $e^x/e^x+1$
   b) dresser le tableau de variations de la fonction $h$ définie sur [0;1] par $h(x)=e^x/e^x+1$
   c) en déduire que si $x$ appartient à [0;1] alors:
   $0<h(x)<1$
   J'ai trouver pour la dérivée
   $f^{\prime }(x)=1+e^{-x}(1-x)$ et $f^{\prime \prime }(x)=-e^{-x}$
   Merci d'avance pour votre aide!!

Rectification des relations latex par la modération.

[Noemi]

@nisrine Bonjour,

Pour le tableau de variation de $f^{\prime }$, étudie le signe de $f^{\prime \prime }(x)$.

Pour tout $x$, $e^{-x}>....$ donc $-e^{-x}.....$
Donc $f^{\prime \prime }$ est .....
Le tableau de variation de $f^{\prime }$ donne le domaine de variation de la fonction $f^{\prime }$ donc le signe de $f^{\prime }$.

Indique tes éléments de réponse ou résultat si tu souhaites une vérification.

[nisrine]

@Noemi d'accord merciii

[nisrine]

@Noemi
Pour tout $x$ , $e^{-}x$>0 donc $-e^{-}x$<0 alors $f^{\prime }$ est décroissante
Pour le tableau de variation on a pour le signe de $f^{\prime }$ - et variation de $f$ une flèche qui descend.

[Noemi]

@nisrine

Attention c'est $f^{\prime }$ qui est décroissante, il faut déterminer dans quel domaine varie $f^{\prime }(x)$ pour avoir le signe de $f^{\prime }(x)$.

Pour la question c) ce n'est pas $f^{\prime }(x)>0$ ?

[nisrine]

@Noemi
$f^{\prime }(x)$ est dérivable sur $R$ puisque $f(x)$ est dérivable sur $R$ et que c'est une somme de suite dérivable sur cet ensemble de définition et oui c'est bien cela pour la question c

[Noemi]

@nisrine

la question c) c'est $f^{\prime }(x)>0$.

[nisrine]

@Noemi oui je viens de voir que j'ai oublier le ' dans l'énoncé

[Noemi]

@nisrine

Dresse le tableau de variations de la fonction $f$.