Devoir sur les matrices

Bonsoir, j'ai un devoir maison sur les matrices et je ne comprends pas du tout... Pourriez-vous m'aider ?

Dans toute la suite, M désigne la matrice M =
[5 6 -9]
[2 1 -3]
[2 2 -4]
(Désole je ne sais pas comment faire une matrice la dessus...)
et I(petit3) une matrice d'ordre 3.

A) Calculer M²-3M et exprimer cette matrice à l'aide de I(petit3).
B) En déduire que la matrice M est inversible et exprimer Me-3 en fonction de M et de I(petit3).

C'est le début de l'exercice et j'en ai besoin pour la suite, si vous pouviez m'aider ce serait super gentil. Merci !

@gregory Bonsoir,

As-tu calculé $M^2$ ?
Cela donne :
$−8)\begin{pmatrix}19 \ 18\ {-27} \cr 6\ 7\ {-9}\cr 6\ 6 \ {-8} \end{pmatrix}$

Calcule $M^2 - 3M$
Cela donne :
$4)=4×......\begin{pmatrix}4 \ 0\ 0 \cr 0\ 4\ 0 \cr 0\ 0 \ 4 \end{pmatrix} = 4 \times ......$

Bonjour,

Un petit complément si nécessaire, @gregory .

En suivant les indications de Noemi, , tu as dû trouver pour la question 1)A) :

$M^2-3M=4I_3$

Le B) est une conséquence de A) te dit l'énoncé.

Tu n'as donc pas de calcul général à faire : tu utilises l'égalité trouvée
$M^2-3M=4I_3$

En divisant par 4
$14(M2−3M)=I3\dfrac{1}{4}(M^2-3M)=I_3$

En mettant $M$ en facteur
$M×(14(M−3I3))=I3M\times \biggr(\dfrac{1}{4}(M-3I_3)\biggr)=I_3$

$M$ est donc inversible et son inverse est $M−1=14(M−3I3)M^{-1}=\dfrac{1}{4}(M-3I_3)$

Tu peux éventuellement faire le calcul matriciel pour expliciter $M^{-1}$

Ensuite tu as indiqué "exprimer Me-3 en fonction de M et de I(petit3)." ? ? ?
Si tu as besoin, il faudra que tu re-écrive exactement ce que tu veux dire, car c'est assez bizarre...

Bonjour merci beaucoup et désolé de répondre si tard j'ai beaucoup de travail en ce moment...
pour la 1.b je voulais écrire : En déduire que la matrice M est inversible et exprimer $M^-1$ en fonction de M et de $I_3$ .
Mais je pense que vous avez répondu à ma question déjà.
La question suivante est une récurrence mais je ne vois pas comment la faire.
2.a Démontrer par récurrence qu'il existe deux suites réelles ( $a_n$ ) et ( $b_n$ ) telles que, pour tout n appartenant aux entier, $M^n$ = $a_n$ M+ $b_n$ $I_3$ . On précisera $a_0$ et $b_0$ et on montera que ( $a_n$ ) et ( $b_n$ ) vérifient :
pour tout n appartenant aux entiers : { $a_{n+1}$ = 3 $a_n$ + $b_n$
{ $b_{n+1}$ = 4 $a_n$

@gregory , rebonjour,
Tout-à -fait d'accord pour t'aider à ta seconde question, mais avant cela, commence par t'assurer que tu maîtrises la première.

oui je maitrise la première j'ai tout à fait compris

mais je ne vois pas comment faire la récurrence, le lien entre tout ça, comment procéder...

@gregory

Commence par préciser la valeur de $a_0$ et $b_0$ .

mais comment déterminer leurs valeurs ?

@gregory , c'est très bien si tu maîtrises la question 1)

Comme promis dans mon précédent message, je t'aide pour la seconde question.

Je te donne des indications pour la récurrence de la question 2), mais ce ne sont que des pistes (améliore explications et rédaction)

Initialisation pour n=0.

Tu dois trouver $a_0$ et $b_0$ pour que $M^0=a_0M+b_0I_3$

Regarde ton cours. $M^0$ est la matrice identité, ici, $I_3$ .

Tu dois trouver $a_0$ et $b_0$ pour que : $I_3=a_0 M+b_0I_3$

Donc : $a_0=0$ et $b_0=1$

Hérédité ( ou transmission ) les deux termes sont corrects.

Hypothèse à un ordre $n$ de $N$ : $M^n=a_n M+b_nI_3$

Conclusion à démontrer à l'ordre (n+1) : il existe $a_{n+1}$ et
$b_{n+1}$ tel que : $M^{n+1}=a_{n+1} M+b_{n+1}I_3$

Principe de la démonstration :

$Mn+1=Mn×MM^{n+1}=M^n\times M$
Grâce à l'hypothèse de la récurrence
$Mn+1=(anM+bnI3)×MM^{n+1}=(a_n M+b_nI_3)\times M$
En développant : $M^{n+1}=a_nM^2+b_nM$
En remplaçant $M^2$ par l'expression trouvée à la question 1) :
$M^{n+1}=a_n(3M+4I_3)+b_nM$

Tu développes, tu regroupes, et tu dois trouver :
$M^{n+1}=(3a_n+b_n)M+(4a_n)I_3$

Tu en déduis :
$a_{n+1}=...$ (tu complètes)
$b_{n+1}=....$ (tu complètes)

Tu pourras conclure que l'hérédité est vraie et que la propriété demandée est bien exacte pour tout $n$ de $N$

merci beaucoup mais pourquoi $M^0$ = $I_3$ ?

@gregory , c'est du cours. (et en principe, tu dois trouver la propriété dans ton cours)

Pour $n≥1n\ge 1$ , $A^n$ est le produit de $n$ matrices toutes égales à $A$ .

Pour $n = 0$ , $A^0$ est égale à la matrice unité (c'est une convention, pour que les propriétés des puissances des matrices s'appliquent pour n=0)
Ici, la matrice unité est $I_3$

Une remarque : c'est la même chose pour les réels
Soit a un réel non nul, $a^0=1$ par convention.

d'accord merci et à la fin on en déduit bien que $a_{n+1}$ = 3 $a_n$ + $b_n$ et que $b_{n+1}$ = 4 $a_n$ donc c'est bon. c'est bien cela ? En tout cas merci vraiment la j'ai tout compris

Voici la question suivante : On note, pour tout n appartenant à N, $X_n$ = ( $a_n$ )
( $b_n$ )
(C'est une matrice colonne mais je ne sais pas comment la faire, $a_n$ et $b_n$ doivent être l'un en dessous de l'autre)
Déterminer la matrice A telle que, pour tout n appartenant N, $X_{n+1}$ = A $X_n$

Je n'arrive pas à modifier donc voici la suite de la question : Déterminer la matrice A telle que, pour tout n appartenant N, $X_{n+1}$ = A $X_n$

@gregory ,

Tu résultats pour $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ sont bien exacts.

Si j'ai bien compris ta dernière question, tu cherches la matrice A telle que

$A×(anbn)A\times \begin{pmatrix}a_{n}\cr b_{n}\end{pmatrix}$ = $(an+1bn+1)\begin{pmatrix}a_{n+1}\cr b_{n+1}\end{pmatrix}$

c'est à dire :
$A×(anbn)A\times \begin{pmatrix}a_{n}\cr b_{n}\end{pmatrix}$ = $(3an+bn4an)\begin{pmatrix}3a_n+b_n\cr 4a_{n}\end{pmatrix}$

$A$ ne peut être qu'une matrice carrée 2x2 pour que le calcul soit possible.

Soit $t)A=\begin{pmatrix}x \ y \cr z\ t\end{pmatrix}$
Tu as donc :
$t)×(anbn)\begin{pmatrix}x \ y \cr z\ t\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}a_{n}\cr b_{n}\end{pmatrix}$ = $(3an+bn4an)\begin{pmatrix}3a_n+b_n\cr 4a_{n}\end{pmatrix}$
Tu explicites le membre de gauche et tu obtiens un système à résoudre par identification pour trouver $x, y, z, t$ .

Tu peux donner tes résultats pour vérification si tu le souhaites.

je trouve A = {3 $b_n$ }
{4 1 }
c'est juste ?

@gregory

Non,

Vérifie tes calculs.

@gregory ,

Je pense que tu es sur la bonne voie car 3,4,1 sont bien trois des quatre valeurs à trouver.
Tu dois trouver quatre nombres . Que fait ce $b_n$ ?

En utilisant les notations que je t'ai proposées, tu as dû trouver le système :
$xa_n+yb_n=3a_n+b_n$
$za_n+tb_n=4a_n$

Par identification :
$x = . . .$
$y = . . .$
$z = . . .$
$t = . . .$

Donne tes réponses si tu le souhaites.

Ah mais ouiii, c'est ça ?
x=3
y=1
z=0
t=4

@gregory , OUI .
Maintenant que tu as terminé ton exercice (si c'est bien le cas), je te conseille de le refaire seul, pour être sûr de tout maîtriser.

Bon travail

oui j'ai fait ça c'est bon je le maitrise bien ! merci beaucoup.
J'ai un dernier exercice si cela ne vous dérange pas sur lequel je bloque un peu...
Je poste l'énoncé prochainement, merci et bonne journée

@gregory , Tu as bien travaillé !
Bonne journée à toi.

Bonjour, je crois qu'il y a une erreur puisque $b_{n+1}$ = 4 $a_n$ et non pas 4 $b_n$ donc pour A, x=3,y=1,z=4 et t=0 non ?

@gregory

La rectification est juste.

d'accord merci

Voici la suite : Soit P la matrice définie par P= (1 -1)
(1 4)
Justifier que P est inversible et déterminer $P^{-1}$ .
-> je ne sais pas comment justifier que P est inversible mais je trouve $P^{-1}$ = (0.8 0.2)
(-0.2 0.2)
Est-ce juste ? Et pourriez-vous m'expliquer pourquoi P est-il inversible ?
Merci !

@gregory

Applique la définition du cours :
Une matrice $A$ ∈ Mn (R) est dite inversible s’il existe une matrice $B$ ∈ Mn (R) telle que : $A×B=InA\times B=I_n$ et $B×A=InB\times A=I_n$
Si $B$ existe, elle est appelée inverse de $A$ et notée $A^{−1}$ .

$P^{-1}$ est juste.

ensuite je dois calculer $P_{-1}$ xAxP à l'aide du A des questions précédentes.
Je trouve ( 4 0)
( $5,6^{-17}$ -1)
Est-ce juste ?

@gregory

Vérifie ton calcul et l'écriture du résultat.

j'ai tout vérifié mais je retrouve cela...

@gregory

Indique ton résultat pour $A×PA\times P$

(3 1) x (1 -1)
(4 0) (1 4)

= (4 1)
(4 -4)

à l'aide de la calculatrice

@gregory

Oui,

Calcule maintenant $P−1×A×PP^{-1}\times A\times P$

ah bah je trouve quelque chose de différent, j'avais tout multiplié d'un coup la première fois...
(4 0)
(0 -1) c'est ça ?

@gregory

C'est juste.

d'accord merci.
Je n'ai pas eu de problème pour les questions suivantes jusqu'à une autre récurrence la voici:
-> On note cette matrice D (la matrice que l'on vient de calculer). On cherche maintenant à montrer que pour tout n appartenant à N, $A^n$ =Px $D^n$ x $P^{-1}$
Pour l'initialisaiton on fait $A^1$ = Px $D^1$ x $P^{-1}$ et on retrouve bien la valeur de A mais pour la récurrence je bloque, pourriez-vous m'aider ?
Je me déconnecte pour ce soir, je reprends probablement demain.
Merci infiniment pour tout le temps que vous me consacrez.

@gregory

A partir de $An+1=A×P×Dn×P−1A^{n+1} = A\times P\times D^n\times P^{-1}$
Utilise l'expression de $A^1$ soit $A$
et simplifie l'expression.

Bonjour,

REMARQUE MODIFIEE

@gregory ,

Je modifie ma remarque vu que, finalement, tu as donné ton énoncé entier et que, contrairement aux apparences, les questions demandées étaient relatives au même exercice.

C'est ce qu'il faudra faire une autre fois pour la lisibilité de la discussion.

Vu la longueur, c'était difficile de s'y retrouver, aussi bien pour toi que pour les aidants et aussi pour tous ceux qui viennent consulter.

Je regarde un peu, depuis mon dernier passage.

Pour la première partie:
Oui, ta dernière modification est bonne car il y a eu un mélange entre $a_n$ et $b_n$

Pour la seconde partie :
L'énoncé te demande de justifier d'abord que P est inversible (avant de calculer $P^{-1}$ )
Regarde ton cours :
Il devrait y avoir écrit (mais j'ignore si c'est le cas ...) qu'une matrice carrée est inversible si et seulement si, son déterminant est non nul.
Si cette propriété caractéristique est indiquée, tu calcules le déterminant de $P$

$4∣=(1×4)−(1×(−1))=4+1=5Det(P)=\begin{vmatrix}1 -1\cr 1\ \ _\ \ 4\end{vmatrix}=(1\times 4)-(1\times (-1))=4+1=5$

$Det(P)≠0Det(P)\ne 0$ donc $P$ inversible.

Pour l'hérédité de ta dernière récurrence, Noemi t'a donné la piste.
J'explicite un peu.

Hypothèse de la récurrence à l'ordre n :
$An=P×Dn×P−1A^n=P\times D^n\times P^{-1}$

Conclusion à démontrer à l'ordre (n+1) :
$An+1=P×Dn+1×P−1A^{n+1}=P\times D^{n+1}\times P^{-1}$

Début de la démonstration:

$An+1=A×AnA^{n+1}=A\times A^n$
En remplaçant $A$ par son expression et $A^n$ par l'expression de l'hypothèse de la récurrence :
$An+1=(P×D×P−1)×(P×Dn×P−1)A^{n+1}=(P\times D\times P^{-1})\times(P\times D^n\times P^{-1})$
En déplaçant les parenthèses (c'est la propriété d'associativité)
$An+1=P×D×(P−1×P)×Dn×P−1A^{n+1}=P\times D\times ( P^{-1} \times P)\times D^n\times P^{-1}$
$P−1×P=I2P^{-1}\times P=I_2$ (matrice unité)
Donc :
$An+1=P×D×Dn×P−1A^{n+1}=P\times D\times D^n\times P^{-1}$

Ensuite, tu regroupes $D×DnD\times D^n$ :
$D×Dn=............D\times D^n=............$ (tu complètes) et tu dois trouver la conclusion souhaitée.

Bon travail.

D'accord merci beaucoup. En réalité tout appartient au même exercice ici, c'est pourquoi je n'ai pas créer de nouvelle page.
Il me reste 3 questions, je les poste ici et je changerai si vous le désirez. Voici la première :
-> En déduire pour tout n appartenant à N les expressions de $a_n$ et $b_n$ en fonction de n.
En réalité je ne vois pas le lien entre ces questions et les précédentes donc je n'arrive pas à le faire.
Merci beaucoup !

@gregory

Tu aurais du écrire toutes les questions de l'exercice dans le premier post. Cela permettrait une meilleure compréhension.

Pour cette question, utilise la relation de la question précédente.
Exprime en fonction de $n$ , $D^n$ .

mais je ne vois pas comment exprimer cela... et d'accord désolé, la prochaine fois je posterai tout d'un coup.

voulez vous que je reposte toutes les questions d'un coup ?

@gregory

Tu pourrais écrire l'énoncé en entier dans le premier post.

d'accord je fais ça

Bonsoir, j'ai un devoir maison sur les matrices et je ne comprends pas du tout... Pourriez-vous m'aider ?

Dans toute la suite, M désigne la matrice M =
[5 6 -9]
[2 1 -3]
[2 2 -4]
(Désole je ne sais pas comment faire une matrice la dessus...)
et I(petit3) une matrice d'ordre 3.

A) Calculer M²-3M et exprimer cette matrice à l'aide de I(petit3).
B) En déduire que la matrice M est inversible et exprimer Me-3 en fonction de M et de I(petit3).

2.A) Démonter par récurrence qu'il existe deux suites réelles $a_n$ et $b_n$ telle que, pour tout n appartenant à N, $M^n$ = $a_n$ M + $b_n$ x $I_3$ . On précisera $a_0$ et $b_0$ et on montrera que $a_n$ et $b_n$ vérifient : pour tout n appartenant à N, { $a_{n+1}$ = 3 $a_n$ + $b_n$ et $b_{n+1} = 4$ $a_n$
B) On note pour tout n appartenant à N, $X_n$ = ( $a_n$ )
( $b_n$ ). Déterminer la matrice A telle que, pour tout n appartenant à N, $X_{n+1}$ = A $X_n$

3.A) Soit P la matrice définie par P = (1 -1)
(1 4). Justifier que P est inversible et déterminer $P^{-1}$
B) Calculer $P^{-1}$ AP. On note D cette matrice.
C) Démontrer que, pour tout n appartenant à N, $A^n$ = P $D^n$ $P^{-1}$ .
D) En déduire pour tout n appartenant à N les expressions de $a_n$ et $b_n$ en fonction de n.
-> (la ou on en est)

4.A) Déduire des questions précédentes, pour tout n appartenant à N, l'expression de $M^n$ en fonction de n.
B) Application. -On considère trois suites ( $U_n$ ), ( $V_n$ ) et ( $W_n$ ) définies par $U_0$ = 1, $V_0$ = 0 et $W_0$ = 0 et, pour tout n appartenant à N, { $U_{n+1}$ = 5 $U_n$ + 6 $V_n$ - 9 $W_n$ , { $V_{n+1}$ = 2 $U_n$ + $V_n$ - 3 $W_n$ et { $W_{n+1}$ =2 $U_n$ + 2 $V_n$ - 4 $W_n$ . Déterminer, pour tout n appartenant à N, les formes explicites de $U_n$ , $V_n$ et $W_n$ en fonction de n.

=> Voila, j'ai reposté car le message était trop ancien pour être modifié...

@gregory , vu que tu donnes la totalité de l'énoncé , je regarde la fin.
Je te donnes seulement les pistes.
A toi de faire les calculs.

Pour la 3,D), Noemi t'a mis sur la voie.

Calcul $D^n$ :
Vu que $D$ est une matrice diagonale (regarde ton cours) :
$00−1)D=\begin{pmatrix}4\ \ \ \ 0\cr 0-1\end{pmatrix}$
$(−1)n)D^n=\begin{pmatrix}4^n\ \ \ \ \ \ \ \ 0 \cr 0\ \ \ \ (-1)^n\end{pmatrix}$

Tu connais $D^n,P,P^{-1}$ donc tu peux calculer $An=P×Dn×P−1A^n=P\times D^n\times P^{-1}$

Tu sais, d'après les questions précédentes que :
$X_{n+1}=AX_n$ et que $X0=(a0b0)X_0=\begin{pmatrix}a_0\cr b_0\end{pmatrix}$ avec $a_0=0$ et $b_0=1$

$X_n)$ et la suite géométrique de raison A et de premier terme $X_0$ donc $Xn=An×X0X_n=A^n\times X_0$

Tu peux donc calculer $Xn=(anbn)X_n=\begin{pmatrix}a_n\cr b_n\end{pmatrix}$

Tu obtiens ainsi $a_n$ et $b_n$

4,A) Conséquence : connaissant $a_n$ et $b_n$ , tu peux exprimer $M^n$ en fonction de n

La 4,B) est une application.

Tu as oublié un $W_n$ dans la formule de $W_{n+1}$
Cela devrait être :
$W_{n+1}=2U_n+2V_n-4W_n$

Si tu observes bien les 3 expressions, tu peux écrire :
$(Un+1Vn+1Wn+1)=M×(UnVnWn)\begin{pmatrix}U_{n+1}\cr V_{n+1}\cr W_{n+1}\end{pmatrix}=M\times \begin{pmatrix}U_{n}\cr V_{n}\cr W_{n}\end{pmatrix}$

Encore une suite géométrique , donc
$(UnVnWn)=Mn×(U0V0W0)\begin{pmatrix} U_{n}\cr V_{n} \cr W_{n}\end{pmatrix}=M^n\times \begin{pmatrix} U_{0}\cr V_{0} \cr W_{0}\end{pmatrix}$

Après calculs, tu auras la conclusion.

Bon travail ! ! !

merci beaucoup mais pouvez-vous m'indiquer ce que je dois trouver pour la 3/d en faisant Px $D^n$ car je ne suis pas sur de ce que j'ai.

En fait je trouve $A^n$ = ( $3^n$ $1^n$ )
( $4^n$ 0). Est-ce juste ?

Je trouve ensuite que $a_n$ = $1^n$ et que $b_n$ = 0 donc $M^n$ = $1^n$ xM. Est-ce bon ?

Bonjour @gregory ,
Comme indiqué, je t'ai donné la marche à suivre.
Je te laisse faire les calculs( ce ne sont que des calculs).
Tes résultats me semblent inexacts.

oui j'ai vu merci beaucoup.
A quelles endroits sont-ils inexactes ? je les ai pourtant refait deux fois.

@gregory , je t'ai donné toute la marche à suivre.
Revois tes calculs seuls, sinon, on aura fait tout ton exercice...
Bons calculs .

oui c'est ce que j'ai fait, mais je dois me tromper au niveau des puissances, quand je fais Px $D^n$ je trouve
( 1x $4^n$ + (-1x0) 1x0+ $1^n$ ) = ( $4^n$ $1^n$ )
( 1x $4^n$ + 4x0 1x0 +4 x $1^n$ ) ( $4^n$ $4^n$ )
Mais est-ce que je peux multiplier de la sorte ?

Revois les propriétés des puissances.

$(−1)×(−1)n≠1n(-1)\times (-1)^n\ne 1^n$
$4×(−1)n≠−4n4\times (-1)^n\ne -4^n$

je ne trouve nul part des cas comme celui ci, dans mes anciens cours on nous donne juste des trucs de base du genre
$3^5$ x $3^6$ = $3^{5+6}$ = $3^{11}$

Heureusement, ton cours te donne des propriétés exactes !

Tu ne peux pas inventer des propriétés fausses (ce que tu as fait )!

$(−1)×(−1)n(-1)\times (-1)^n$ peut s'écrire $1)^{n+1}$ .
Tu peux écrire aussi tout simplement $1)^n$

De même, $4×(−1)n4\times (-1)^n$ ne peut que s'écrire $4(-1)^n$
(il n'y a pas de simplifications possibles car 4 n'est pas à la puissance n)

d'accord donc pour $A^n$ je trouve finalement
( $4^n$ x0.8-( $1)^{n+1}$ x(-0.2) $4^n$ x0.2-(-1 $^n$ x0.2)
( $4^n$ x0.8 -0.8x(- $1^n$ ) $4^n$ x0.2+0.8x(- $1^n$ ))
Est-ce juste ? je ne peux faire aucune simplification ?

Ce n'est pas facile à lire...

La ligne inférieure de ta matrice me semble bonne.

Pour la ligne supérieure , tu ne mets pas de parenthèses autour de (-1) lorsqu'il est à la puissance (n+1) donc ça devient inexact....

De plus, pour $1)(-1)^n$ , en utilisant $1)^n$ ce serait plus simple.

je viens de le rectifier, c'est mieux ? Merci beaucoup !

Ce message a été supprimé !

et $a_n$ et $b_n$ seraient donc les membres de droite non ?

$a_n$ = $4^n$ x0.2-(-1 $^n$ x0.2 et $b_n$ = $4^n$ x0.2 +0.8x(-1 $^n$ ?

@gregory ,
$a_n$ et $b_n$ que tu donnes me semblent exacts.

okay merci et pour la question 4.A) je n'ai qu'à les remplacer dans le formule de $M^n$ ?
Mais en faisant cela et en calculant avec n=1 je ne retrouve pas M...

@gregory , tu t'es trompé dans tes vérifications...peut être dans les puissances de (-1), ou ailleurs...

Je viens de faire le calcul.
Tu dois trouver, après calcul, $a_1=1$ et $b_1=0$ donc
$M1=(1×M)+(0×I3)=MM^1=(1\times M)+(0\times I_3)=M$

d'accord merci. Pour la dernière question je n'ai jamais vu ce cas de figure, comment multiplier $a_n$ M + $b_n$ $I_3$ par
(1)
(0)
(0)
?
je fais juste $U_n$ = 1x $A_n$ M + $b_n$ $I_3$ ? et donc $V_0$ = 0 et $W_0$ aussi ?

@gregory ,
De quoi parles-tu ?
De la question 4)A)? ou 4)B)?

Si tu parles de 4)A), tu sais forcément multiplier une matrice par un nombre.
Il te suffit de multiplier chaque terme de la matrice par le nombre.

mais dans la 4.A) on me demande juste de déduire des questions précédentes l'expression de $M^n$ en fonction de n, J'ai donc mis que $M^n$ = $a_n$ xM + $b_n$ x $I_3$ = $4^n$ x0.2-(-1 $^n$ x0.2xM+ $4^n$ x0.2+0.8x(-1 $^n$ x $I_3$ .
je parlais moi de la 4.B, si $U_0$ = 1, alors $u_n$ = $M^n$ x1 = $M^n$
Pour $V_0$ = $W_0$ = 0 on obtient donc $M^n$ x 0 = 0 non ?

@gregory ,

Pour la 4)A)
Sans remplacer $a_n$ et $b_n$ par les valeurs trouvées (car trop long à taper)
$−4an+bn)M^n=\begin{pmatrix}\ 5a_n+b_n\ \ \ 6a_n\ \ \ \ \ \ -9a_n\cr 2a_n\ \ \ \ \ \ \ \ a_n+b_n\ \ \ \ -3a_n\cr \ \ \ \ \ 2a_n\ \ \ \ \ \ \ \ \ 2a_n\ \ \ \ \ -4a_n+b_n\end{pmatrix}$

@gregory ,

Pour la 4)B),
Comprends l'explication que je t'ai donnée.
J'espère que tu as compris la forme matricielle du système, qui est ainsi de la forme usuelle des suites géométriques.

oui j'ai compris, ainsi pour la dernière (4.B) je trouve $u_n$ = 5 $a_n$ + $b_n$ , $v_n$ = 2 $a_n$ et $w_n$ = 2 $a_n$ .
Est-ce bon ?

@gregory ,

Oui, et ensuite, dans ces résultats, tu remplaces $a_n$ et $b_n$ par leurs expressions en fonction de n et tu réduis le mieux possible.

c'est bon. Merci infiniment, je referai tout l'exercice le week-end prochain pour être sur d'avoir bien compris mais ca va beaucoup mieux !

De rien @gregory .
Oui, il faut que tu refasses seul tout l'exercice, pour tout assimiler.
Contrairement à l'exercice que tu as demandé sur la concavité/convexité , celui ci était "costaud".

oui l'autre était assez simple mais celui abordait beaucoup de notions avec lesquelles j'ai du mal c'est pour ça

@gregory ,
Cela t'aura fait un très bon entraînement au calcul matriciel, et tu as bien travaillé !