exercice convexité terminale

Bonjour, j'ai des exercices sur la convexité à faire et j'ai du mal avec l'un d'entre eux.
On considère la fonction f dénie sur R par :
f(x) = (-5 $x^2$ +5) $e^x$ .
On note f' la fonction dérivée de f et f'' la fonction dérivée seconde
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan, donnée ci-dessous.

1.A) Étudier les limites de la fonction f en +∞ et en −∞.
B) Montrer que pour tout X appartenant à R, f'(x) = (-5 $x^2$ -10x + 5) $e^x$
C) Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle R

2.Soit delta la tangente à C au point d'abscisse 0.
A) Montrer qu'une équation de ∆ est y = 5x + 5.
B) Tracer la droite ∆ dans le repère fourni ci-dessous.

3.A) Montrer que, pour tout x appartenant à R, f''(x) = -(5 $x^2$ + 20x + 5) $e^x$ .
B) Étudier la convexité de le fonction f sur l'intervalle R.
Je poste ce que j'ai dans l'après-midi. Merci

@gregory Bonjour,

Ce serait bien de commencer par nous donner ton travail relatif à cet exercice.

Quelles sont les questions qui te posent problème ?

Qu'as tu trouvé pour les deux limites de la question 1)A) ?

Pour la limite en + infini je trouve $x^2$ (-5+5/ $x^2$ ) $e^x$ et cela donné +infini x +infini = +infini
Pour la limite en - infini je ne sais pas comment faire...

@gregory a dit dans exercice convexité terminale :

Pour la limite en + infini je trouve $x^2$ (-5+5/ $x^2$ ) $e^x$ et cela donné +infini x +infini = +infini
Pour la limite en - infini je ne sais pas comment faire...

Ce n'est pas correct. lim(x--> +oo) (-5x²+5)*e^x = -oo * +oo = -oo

Pour la limite en -oo, il me semble qu'en terminale on se contente de dire que l'exponentielle "gagne" toujours sur les puissances (avec les précautions de langage requises)
... et que donc la limite est ici égale à 0

@gregory Bonjour,

Pour les limites en $±∞±\infty$ , tu peux considérer que
$5x^2+5$ voisin de $5x^2$
Donc calcule les limites de $5x^2e^x$
Pour ta réponse tu n'as pas pris en compte le moins -, donc rectifie les calculs.
Il faut indiquer les limites de référence que tu utilises.

mais nous tombons sur une forme indéterminé, comment la faire disparaitre ?
Car en +infini on trouve -infini x +infini =F.I. et en moins infini on trouve 0, c'est bien ça ?

@gregory , bonjour,

Tu dois avoir un théorème dans ton cours sur les croissances comparées

Je te mets un lien à consulter:
http://www.jybaudot.fr/Analyse/exponentielle.html

Pour $n>0n\gt 0$ ,
$lim⁡x→−∞xnex=0\boxed{\displaystyle \lim_{x\to -\infty}x^ne^x=0}$

Tu peux donc utiliser : $lim⁡x→−∞x2ex=0\displaystyle \lim_{x\to -\infty}x^2e^x=0$ et lever l'indétermination.

@gregory

En $−∞-\infty$ , mtschoon t'a indique la limite de référence, donc la limite est bien 0.
En $+∞+\infty$ , $x^2e^x$ tend vers $+∞+\infty$
donc $5x^2e^x$ tend vers ......

Oui c'est bon je l'ai trouvé dans mon cours, merci. Donc en +infini j'ai -infini x +infini = -infini et en -infini j'ai -infini x 0 = 0 selon le théorème des croissances comparées. c'est ça ?

@gregory

Les résultats sont corrects.

okay, pour la B j'ai juste dit que c'est de la forme uxv, j'ai calculé u' et v', fait u'xv + uxv' et je retombe bien, en factorisant, sur (-5 $x^2$ -10x +5) $e^x$ . Je pense donc c'est bon, pas besoin de faire autrement ?

@gregory

Oui, tu peux passer aux variations en factorisant le polynôme.

j'ai calculé delta (200)>0
x1 = -1-sqrt(2) et x2 = -1sqrt(2)
je trouve donc pour les variations - + -
c'est juste ?

donc c'est décroissant entre -infini et x2, croissant entre x2 et x1 et décroissant entre x1 et +infini

@gregory

Les variations sont correctes.

@gregory ,

Je pense que tu as voulu écrire
$x1=−1−2x_1=-1-\sqrt 2$ et $x2=−1+2x_2=-1+\sqrt 2$ (il manque le "+" dans ton écriture).
Donc,
f décroissante sur $]−∞,x1]]-\infty, x_1]$ ,
f croissante sur $x_1,x_2]$
f décroissante sur $[x2,+∞[[x_2,+\infty[$
( tu as alterné $x_1$ et $x_2$ dans ton écriture)

oh oui pardon j'ai pas fait attention en écrivant mais merci:)

pour la 2.A, je peux dire que y=f'(0)(x-0)+f(0) je sais que que f(0)= 5 par le cture graphique mais comment connaitre f'(0) ?

Pour calculer f'(0) , tu prends f'(x) et tu
remplaces x par 0

d'accord merci !

Pour la dernière question je trouve que c'est concave entre -infini et x2, convexe entre x2 et x1 et concave entre x1 et +infini, quelqu'un veut bien me confirmer cela ?

@gregory ,

J'espère que $x_1$ et $x_2$ dont tu parles sont les valeurs qui annulent la dérivée seconde (c'est à dire les points d'inflexion de la courbe).

Si c'est bien ça, f est effectivement d'abord concave (car $f′′(x)<0f''(x)\lt 0$ ) , puis convexe ( car $f′′(x)>0f''(x)\gt 0$ ) puis concave (car $f′′(x)<0f''(x)\lt 0$ ) .

oui j'ai de nouveaux calculé delta et x1 et x2 donc je pense que ce sont bien les points d'inflexions

@gregory ,
Donc, ça semble bon.

super, merci beaucoup.

De rien @gregory .
Cet exercice était assez "basique, contrairement à celui sur les matrices que tu proposes.