3. Exercice 1ère dérive tableau de signes variation

Exercice 1ère dérive tableau de signes variation

  • S

    Bonsoir,
    Je suis en première et j’ai du mal à répondre à un problème.
    Je bloque au niveau d’une question et je pense qu’il y a une erreur.
    Voici le sujet :
    Une société minière reçoit une commande de 450 000 tonnes de sables destinés à la fabrication des ouvrages d’arts d’une autoroute. Pour satisfaire ces commandes elle exploite un nouveau gisements.
    La tendance observée et son expérience professionnelle conduisent le responsable à modéliser la masse hebdomadaire de sable, exprimée en milliers de tonnes, par la fonction f définie sur [0;60] par
    f(x)= 50 000x /( x^2+300)^2

    A) on note g la fonction définie sur [0;60] par g(x)= (x^2 + 300) ^2 montrer que pour tout x appartenant à [0;60] la dérivée est g’(x)= 4x(x^2+300)
    MA RÉPONSE j’ai réussi à obtenir la dérivée en utilisant la fonction u^2 avec (u^2)’= 2.u.u ´

    B) montrer que pour tout x appartenant à [0;60] on a f’(x) = 50 000 (-3x^2+300)/(x^2+300) ^3

    C) étudier le signe de f’(x) sur [0;60]
    D) dresser le tableau de variation de f sur [0;60]
    E) déterminer au bout de combien de semaine l’extraction de sable est maximale. Quelle est alors la masse hebdomadaire de sable extraite?

    Merci d’avance pour votre aide, je bloque à la B) je dérive et n’obtiens pas du tout ce qui est dans l’énoncé du coup e ne comprend pas.

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @shana67 Bonsoir,

    f(x)f(x)f(x) est de la forme UV\dfrac{U}{V}VU​

    f′(x)=50000(x2+300)2−50000x×4x(x2+300)(x2+300)4f'(x) = \dfrac{50000(x^2+300)^2-50000x\times4x(x^2+300)}{(x^2+300)^4}f′(x)=(x2+300)450000(x2+300)2−50000x×4x(x2+300)​

    f′(x)=50000(x2+300)−50000x×4x(x2+300)3f'(x) = \dfrac{50000(x^2+300)-50000x\times4x}{(x^2+300)^3}f′(x)=(x2+300)350000(x2+300)−50000x×4x​

    Mets 500005000050000 en facteur au numérateur.

    S 1 réponse
  • S

    @Noemi merci pour votre réponse
    Pourriez vous m’expliquer comment vous faites pour retomber sur le cube svp

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @shana67

    J'ai simplifier (x2+300)(x^2+300)(x2+300) dans les deux éléments du numérateur.

    f′(x)=50000(x2+300)2−50000x×4x(x2+300)(x2+300)4f'(x) = \dfrac{50000(x^2+300)^2-50000x\times4x(x^2+300)}{(x^2+300)^4}f′(x)=(x2+300)450000(x2+300)2−50000x×4x(x2+300)​

    Tu peux mettre 50000(x2+300)50000(x^2+300)50000(x2+300) en facteur puis simplifier.

    f′(x)=50000(x2+300)[(x2+300)−4x2](x2+300)4f'(x) = \dfrac{50000(x^2+300)[(x^2+300)-4x^2]}{(x^2+300)^4}f′(x)=(x2+300)450000(x2+300)[(x2+300)−4x2]​

    S 1 réponse
  • S

    @Noemi
    En mettant 50000 en facteur j’obtiens f’(x)= 50000(x^2+300)-4x /(x^2+300)^3
    C’est ça ?

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @shana67

    Non vérifie le calcul.

    S 1 réponse
  • S

    @Noemi
    Ah oui effectivement.
    50 000(x^2+300)(-x+4)/(x^2+300) ^3
    C’est ça ?

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @shana67

    Non
    f′(x)=50000(x2+300)[(x2+300)−4x2](x2+300)4f'(x) = \dfrac{50000(x^2+300)[(x^2+300)-4x^2]}{(x^2+300)^4}f′(x)=(x2+300)450000(x2+300)[(x2+300)−4x2]​

    f′(x)=50000(x2+300−4x2)(x2+300)3f'(x) = \dfrac{50000(x^2+300-4x^2)}{(x^2+300)^3}f′(x)=(x2+300)350000(x2+300−4x2)​

    f′(x)=50000(300−3x2)(x2+300)3f'(x) = \dfrac{50000(300-3x^2)}{(x^2+300)^3}f′(x)=(x2+300)350000(300−3x2)​

    Que l'on peut écrire pour étudier le signe :
    f′(x)=150000(100−x2)(x2+300)3f'(x) = \dfrac{150000(100-x^2)}{(x^2+300)^3}f′(x)=(x2+300)3150000(100−x2)​

    Il reste à factoriser 100−x2100-x^2100−x2 en utilisant les identités remarquables.

    S 1 réponse
  • S

    @Noemi
    Je suis obligé d’utiliser l’identité remarquable ? Car je pensais à étudier la fonction morceau par morceau
    Par exemple en mettant que 50 000 est positive
    Puis sur une autre ligne étudier -3x^2+300=0 et donner le signe etc etc

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @shana67

    Tu peux utiliser la méthode de ton choix.

    S 2 réponses
  • S

    @Noemi
    Pour résoudre l’équation j’utilise delta on est d’accord ?

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @shana67

    Tu utilises delta ou les identités remarquables.

    S 2 réponses
  • S

    @Noemi
    Ou bien je peux faire -3x^2+300<0 et donc c’est égale à x>10 ?

  • S

    @Noemi
    J’ai obtenu un tableau de signe de f’(x) tel quel de 0 a 10 f’(X) est positive et sur [10;60] négative
    C’est ça ?

  • S

    @Noemi
    Du coup la fonction est croissante puis décroissante et admet un maximum pour x=10
    Ainsi on peut donc dire que c’est au bout de 10 semaines que l’extraction de sable est maximale et pour trouver la masse je remplace x par 10 dans la fonction ?

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @shana67

    C'est juste.
    xxx a pour unité la semaine ?

    S 1 réponse
  • S

    @Noemi
    Merci bcp !

  • mtschoon

    Bonjour,

    Peut-être que @shana67 a fait un "raccourci" pour écrire l'énoncé, mais me semble que l'énoncé est ambigu...

    L'énoncé aurait dû préciser ce que représente x.
    Par exemple " x désigne désigne le temps écoulé en jours depuis le début de l'exploitation du nouveau gisement"... ? ? ? ou autre ....

    Exemple de sujet de même type mais pour élèves de Terminale ( car fonction exponentielle ) écrit correctement :
    http://yallouz.arie.free.fr/bac_sti2d/2018-France_Sept/2018-France_Sept.php?page=exo3c

dérivée 6 aide 1ère svp 1
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