Analyse 4, théorème de convergence dominée
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solene robin dernière édition par
Bonjour, ou plutôt bonsoir,
Voici mon problème :
Soit a un réel fixé et, pour n>= 1, soit la fonction f_n(x)=(n^a)xexp(nx).
Déterminer la limite simple de la suite (f_n)_n sur (R+).
Pour quels paramètres a, la convergence est-elle uniforme?Alors je connais bien mon cours, mais j'ai un peu de mal a l'appliquer.
Jusque la, j'ai trouvé que lorsque x=0, f_n(x=0)=0 ->f=0. Mais après cela je ne vois pas comment faire.
Peut-être un changement de variable avec t=nx ?
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@solene-robin Bonjour,
La fonction est-elle bien : fn(x)=naxenxf_n(x)=n^a x e^{nx}fn(x)=naxenx ?
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Bonjour,
@solene-robin , effectivement tu devrais re-écrire clairement l'expression de fn(x)f_n(x)fn(x)
J'aurais plutôt pensé à fn(x)=naxe−nxf_n(x)=n^axe^{-nx}fn(x)=naxe−nx
Merci de nous tenir au courant sur cet énoncé si tu as besoin d'aide.
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mtschoon dernière édition par mtschoon
@solene-robin , je t'indique quelques pistes pour la fonction fnf_nfn que je te propose, définie par fn(x)=naxe−nx\boxed{f_n(x)=n^axe^{-nx}}fn(x)=naxe−nx
Tu travailles sur R+R^+R+
Comme tu l'indiques, fn(0)=0f_n(0)=0fn(0)=0
Pour x=0, La suite (fn(0))(f_n(0))(fn(0)) converge vers vers f=0f=0f=0Pour x>0 fixé, avec les théorèmes relatifs aux limites, tu dois trouver que limn→+∞fn(x)=0\displaystyle \lim_{n\to +\infty}f_n(x)=0n→+∞limfn(x)=0
Donc (fn)(f_n)(fn) converge simplement vers f=0f=0f=0Pour la suite (convergence uniforme) je te conseille d'étudier les variations de fnf_nfn sur R+R^+R+
Tu dois trouver que la dérivée est fn′(x)=nae−nx(1−nx)f_n'(x)=n^ae^{-nx}(1-nx)fn′(x)=nae−nx(1−nx)
Le maximum de fnf_nfn est pour x=1nx=\dfrac{1}{n}x=n1Tu calcules fn(1n)f_n(\dfrac{1}{n})fn(n1), puis sa limite lorsque n tend vers +∞+\infty+∞
Tu dois pouvoir tirer la condition sur a, pour qu'il y ait convergence uniforme.
Regarde ces pistes de près (et termine) pour le cas où la fonction que je te propose est la bonne.
Sinon, donne la fonction clairement (comme déjà demandé)
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solene robin dernière édition par
@Noemi oui c'est effectivement cette fonctionn ( cependant je ne sais pas comment vous avez fait pour la retranscrire ainsi ).
MERCI!
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Il n'y a pas de moins devant l'exposant (nxnxnx) de la fonction exponentielle ?
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solene robin dernière édition par
@Noemi non il n'y en a pas
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solene robin dernière édition par
La methode reste t-elle la meme ?
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Quelle est la limite de la fonction si xxx tend vers +∞+\infty+∞ ?
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solene robin dernière édition par
j'aurais tendance a dire +∞, mais alors je ne sais pas quoi faire pour montrer la convergence
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Oui, donc vérifie l'énoncé.
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Re-bonjour,
@solene-robin ,
Pour écrire les formules mathématiques, on utilise le Latex.
Tu peux consulter ici, si tu veux :
https://forum.mathforu.com/topic/163/comment-écrire-les-principales-expressions-mathématiques-work-in-progressPour la fonction fnf_nfn, comme déjà indiqué, il y a problème.
Avec l'exposant " −nx-nx−nx" au lieu de "nxnxnx", tout convient.
( tu peux prouver que la suite converge uniformément vers la fonction nulle , avec la condition a<1a\lt 1a<1)Alors, informe toi auprès de ton professeur et/ou camarades pour savoir exactement de quoi il s'agit
Merci de nous tenir au courant.
