Etude complète d une fonction rationnelle



  • Bonjour !!

    J'aurais grand besoin d'aide pour cet exercice de mathématiques sur l'étude complète d'une fonction avec limites, dérivées...

    Merci beaucoup d'avance...

    On considère la fonction f définie sur ]-infini;1/2[]1/2;+infini[ par
    f(x)= (2x-2)²/2x-1

    On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (0;i;j).

    1. Déterminer les limites de f en 1/2 Quelle conséquence graphique en tire-t-on pour C?

    2. a) Déterminer les limites de f en +infini et en -infini.

    b) Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x différent de1/2 , f(x)= ax+b+c/2x-1

    En déduire que la droite D d'équation y=2x-3 est asymptote oblique à C.
    Etudier la position relative de D et C.

    1. a) Utilier la forme trouvée au 2.b) pour calculer la dérivée f' de f.
      b) Etudier les variations de f et dresser un tableau des variations de f.

    2. On appelle I le point d'intersecion des deux asymptotes de C. Démontrer que I est le centre de symétrie de C.

    3. Construire C et ses asymptotes en précisant aussi les points à tangente horizontale.

    MERCI !
    g la 1) 2)a) et la 3)

    😄


  • Modérateurs

    Salut.

    Merci d'éditer ton message(en bas à droite de ton post, clique sur "Modifier/Supprimer") afin d'écrire la fonction f, et tout plein d'infos qui sont manquantes dans l'énoncé.

    Une fois fait, envoie un nouveau message afin de remonter ton message, comme ça on saura que ton message aura été édité.

    @+



  • Et dans tout cela, je pense que tu as déja réussi à faire quelques questions. Tu nous précise lesquelles.



  • g deja fait la 1 2)a) et 3 😄



  • salut ! je vien de regarder ton exercice et grace a ma calculette graphique ( outil indispansable) j'ai fais les questions.

    1. tu devrais trouvé:
      lim f(x) = +inf/ quand x tend vers 1/2 avec x>1/2 et
      limf(x) = -inf/ quand x tend vers 1/2 avec x<1/2

    on le trouve car on sait que le numérateur est toujours possitif donc il sufit d'étudié le signe du denominateur à l'aide d'un tableau de signe facil à réalisé.

    1. a) tu cherche la limite de ta fonction f(x)= (2x-2)²/2x-1 en + et - infini
      il te sufit de déveloper ton numérateur aprés tu garde les signe de plus haut degrés en haut et en bas , tu devrais trouvé 2x (je crois)
      donc aprés sa te donne
      lim f(x) = + inf/ quand x tend vers +infini
      lim f(x) = -inf/ quand x tend vers -infini

    2. pour les réels a b c j'ai trouvé a = 2 b = -3 et c = 1
      c'est simple il te sufit de metre au meme denominateur ta fonction qui est f(x)= ax+b+c/2x-1 et de déveloper le numérateur de l'autre fonction qui est en vérité la meme f(x)= (2x-2)²/2x-1
      aprés tu peus en déduire les réels a,b et c

    pour en déduire que la droite D d'équation y=2x-3 est asymptote oblique à C il te fau apliqué une formule qui est
    lim [f(x) - (ax + b)] = 0 ou lim [f(x) - (ax + b)] = 0
    x->+inf/ x->-inf/

    pour la question 4) il faut que tu applique encore une formule vus dans le chapitre généralité des fonction

    y = [f(x - h) + f(x + h)] / 2

    tu devrais trouvé le point I pour coordonnée (1/2;-2)

    voila je m arete la je pense que tu n'aura pas de probleme pour la question 3) a il te sufit de calculer la dérivée de la fonction puis de trouver les valeurs de x quand la dérivés change de signe (tu le trouvera grace en fesant delta car le numérateur deviendra un polynome du second degrés)
    voila jespére que c'est pas faut ce que j'ai dit je sui également en premiere S et comme j'ai bientot un control sur les études de fonction cela ma permis de revizé si tu a besoin d'aide n'exite pas à demander.



  • pour trouver les a et b et tels que f(x)= ax+b+c/2x-1

    il faut réduire les fractions au même dénominateur (ici 2x - 1)

    ax+b+c/2x-1 = [ax(2 x -1) + b(2 x -1) +c] /(2x-1)

    tu développes , tu réduits et

    avec (2x-2)²/2x-1 = ........... (ce que tu viens de trouver)

    tu fais une identification entre les coefficients de

    x2x^2 dans les 2 écritures de f(x)
    x dans les 2 écritures de f(x)
    et les constantes dans les 2 écritures de f(x)



  • j'ai le même exercice à faire et je coince à la question 4, quelqu'un pourrait la rédiger svp, j'ai vérifié mes autres réponses et elles sont toutes bonnes

    pour la question 4, j'ai trouvé une formule sur internet mais on ne l'a pas démontrée en cours je ne peux donc pas l'utiliser, c'est : f(2a-x f(x)=2b

    donc si quelqu'un a la démonstration...
    ou sinon j'ai lu qu'il fallait faire un changement de repère puis prouver qu'elle était impaire mais je n'arrive pas a trover f(-x) = -f(x) il y a toujours un signe qui va pas

    merci d'avance pour votre aide


  • Modérateurs

    salut cocoon85,
    si t'as une fonction f et que tu veux prouver que sa courbe est symétrique par rapport à un point O' (a;b), tu peux effectivement le faire par un changement de repère en appelant par exemple g la fonction issue du changement de repère, tu auras alors :
    f(a+x)=g(x)+b, tu en déduis g(x) et tu montres que g(x) est impaire.
    Dans ton exercice par exemple tu aurais eu :
    g(x)= ((2x-1)²/2x)+2 = 2x+1/2x, fonction impaire, tu peux alors en déduire que le point O' est centre de symétrie de la courbe de f (ou de g puisque c'est la même fonction, seul le repère change).



  • je ne comprends pas d'où sort cette formule, peut tu expliciter??
    f(a+x)=g(x)+b


  • Modérateurs

    Je peux essayer, je vais passer par les vecteurs, c'est ce qui me paraît le plus simple. Tu as un repère de départ (O,i^\rightarrow ,j^\rightarrow ) que tu veux translaté en un repère (O',i^\rightarrow ,j^\rightarrow ), O' étant de coordonées (a,b). Si tu prends un point de la courbe M(x,f(x)) tu pourras écrire OM^\rightarrow (x,f(x)) or, tu vas translaté ton repère du vecteur OO'^\rightarrow (a,b) pour obtenir un repère où M aura pour coordonées (X,Y), donc où O'M^\rightarrow (X,Y), or O'M^\rightarrow a pour coordonées (x-a,f(x)-b), les coordonnées (X,Y) d'un point de la courbe dans le nouveau repère (O',i^\rightarrow ,j^\rightarrow ) s'écrivent donc X=x-a et Y=f(x)-b, d'où x=X+a et f(x)=Y+b et donc :
    f(X+a)=Y+b, tu peux alors calculer Y, que l'on peut appeler g(X), en fonction de X, tu obtiendras la formule de ta fonction dans le nouveau repère.
    J'espère que ce sera assez convaincant 😄.



  • merci beaucoup, je pense y arriver maintenant

    Passe une bonne journée!


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