Dm maths trigonométrie

Bonjour j’ai du mal avec un exercice de mon Dm je mets l’énoncé ci dessous:

On considère le plan muni d’un repère orthonormé direct (O;i,j) et on nomme (C) le cercle de centre O et de rayon 2. Soit A le point de coordonnées (2,0) et soit B le point d’intersection du cercle (C) avec la droite d’equation y=-x dont l’ordonnée et positive

Calculer les coordonnées du point B
Soit I milieu du segment AB. Calculer les coordonnées du point I.

Pour la question 1 je sais je peux tracer cette droite sur le cercle C et trouver les coordonnées de B mais on me demande de calculer. Je ne sais pas quelle démarche adopter

Merci de m’aider

@merv_m Bonjour,

Utilise l'équation du cercle :
$x^2+y^2=4$ sachant que $y = - x$ .

Bonjour
Euh j’ai pas trop compris

@merv_m

Sachant que le point B est le point d'intersection, ces coordonnées vérifient l'équation du cercle et de la droite soit
$x^2+y^2=4$ et
$y = - x$ .

Si on remplace $y$ par $- x$ dans l'équation du cercle, on obtient l'équation
$x^2+x^2= 4$ , soir $2x^2=4$
équation à résoudre

@Noemi D’accord merci j’ai compris.
Ducoup j’ai trouvé B(racine de 2, -racine de 2)

@merv_m

Tu trouves :
$\sqrt2$ ou $\sqrt2$

l'énoncé indique que l'ordonnée est positive ;
Comme $y = - x$ ,
Tu déduis donc que $-\sqrt2$
Donc les coordonnées du point $(-\sqrt2 ; \sqrt2)$ .
Tu peux vérifier si tu as fait le graphique.

Calcule les coordonnées du point I.

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@Noemi Ducoup pour trouver les coordonné de I le calcul c’est
Abscisse: (Racine de2 + 2):2
Ordonnée: (-racine de 2 + 0): 2

@merv_m

C'est la bonne relation mais l'abscisse et ordonnée du point B sont fausses. Tu as inversé les deux.

@Noemi ah oui oui merci de m’avoir aidé en tout cas je reviendrai vers pour d’autres questions

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@Noemi Par la suite on m’a demander de vérifier que I est un point du cercle de centre O et de rayon √2-√2 (la première racine carré est sur les deux termes). Ça j’ai réussi à faire. Maintenant on me demande de trouver la mesure principale de l’angle (i, OI) et de déduire que I a aussi pour coordonnées (√2-√2 cos (3pi/8) ; √2-√2 sin (3pi/8) )
Je ne sais encore là pas quelle démarche adopter...

@merv_m
`
Connais-tu le produit scalaire ?

@Noemi oui je l’ai vu vaguement je crois

@merv_m

Analyse la nature du triangle AOB, tu déduis la mesure de l'angle IOB, puis de l'angle demandé.

@Noemi Bonjour
Ducoup AOB est un triangle isocèle et Il y a une hauteur issue de I qui est bissectrice. Ça donne une triangle rectangle IOA. Après pour calculer l’angle IOA je voulais utiliser cos et arccos.
Ducoup ça m’a donné cos(x) = adjacent/hypothenuse= IO/OA = racine de 2 - racine de 2 / 2
Mais je pense que j’ai du faire une erreur car ça me donne un résultat à bizarre

@merv_m

Rectifie le calcul.
$cosx=xIOIcosx=\dfrac{x_I}{OI}$

@Noemi le Xi c’est quoi?

@merv_m

$x_I$ est l'abscisse du point I.

@Noemi D’accord merci

@Noemi Ca m'a donné 67,5 degrès que j'ai converti en radian ( environ 1,18). Seulement je ne trouve pas la mesure principale de cet angle

@merv_m

67,5° correspond à $3π8\dfrac{3\pi}{8}$ radians qui est la mesure principale de l'angle.

@Noemi Merci pour votre aide à cet exercice j’ai fini le reste moi même. J’ai un dernière question comment je fait pour étudier les positions relatives de f(x)=4xsin^2(x) et g(x)=2x ?

@merv_m

Cherche le signe de $f (x) - g (x)$ .

@Noemi 4xsin^2(x) -2x = 2xsin^2(x) ?

@merv_m

Non
$4xsin^2(x) - 2x= 2x(2-sin^2(x))$

étudie le signe de chaque terme puis du produit.

@Noemi par exemple dans un tableau 2x est négatif jusqu'à 0 puis positif?
comment savoir pour (2−sin 2 (x)) ?

@merv_m

Oui pour $2x

$s i n (x)$ est un nombre compris entre -1 et +1.
donc $sin^2x$ compris entre ....
et $2- sin^2x$ compris entre ...

@Noemi sin²x compris en entre -1 et 1
2-sin²x compris entre 1 et 3?
j'ai oublié de dire que les fonctions sont définies sur pi,-pi

@merv_m

Non, un carré est toujours positif.

$s i n (x)$ est un nombre compris dans l'intervalle [ -1 ; 1].
donc $sin^2x$ est compris dans l'intervalle [ 0 ; 1].
et $2- sin^2x$ est compris entre dans l'intervalle [ 1 ; 2].
donc le signe de $2- sin^2x$ est ....

@Noemi positif

@merv_m

Oui.