Étant donnée la matrice A 2x2, détermine les matrices 2x2 qui commutent avec A.

Bonjour, Pouvez-vous m'aider à résoudre cet exercice svp. Merci d'avance pour votre aide.

A) Étant donnée la matrice A 2x2, détermine les matrices 2x2 qui commutent avec A.

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B) La matrice A de l’exercice précédent possède-t-elle une inverse ? Justifie et dans l’affirmative détermine celle-ci.

Je te mets quelques pistes ( je n'ai pas fait tous les calculs).

A) Tu cherches les matrices B de la forme $d)\begin{pmatrix}a\ \ b \cr c\ \ d\end{pmatrix}$ telles que
$A×B=B×AA\times B=B\times A$

Tu obtiens ainsi 4 équations, mais elles doivent se réduire à trois seulement.
Tu dois pouvoir calculer c et d en fonction de a et b.
Ainsi les matrices B seront exprimer en fonction de a et b

B) A possède un inverse si et seulement si $det(A)≠0det(A)\ne 0$
$d e t (A) = 11$ donc A inversible

$A^{-1}$ doit vérifier $1)A\times A^{-1}= A^{-1}\times A=\begin{pmatrix}1\ \ 0\cr 0\ \ 1\end{pmatrix}$

$A^{-1}$ fait partie de la famille B trouvée dans la question précédente

Tu utilises donc la réponse précédente pour trouver a et b tels que $1)A\times B=\begin{pmatrix}1\ \ 0\cr 0\ \ 1\end{pmatrix}$

Sauf erreur tu dois trouver ainsi que
$B=A^{-1}$ = $211)\begin{pmatrix} \frac{4}{11}\ \ \frac{-1}{11}\cr \frac{3}{11}\ \ \frac{2}{11} \end{pmatrix}$

Bons calculs .

@mtschoon J'ai fait la A mais je sais pas si c'est juste , Pouvez-vous me montrer votre raisonnement svp ?

@Joyca-Le-Boss , bonjour,

Pour la question A), je t'ai déjà indiqué le principe, relis ma réponse.
$A×B=B×AA\times B=B\times A$

Après calculs, en identifiant les coefficients respectifs des matrices $A×BA\times B$ et $B×AB\times A$ , tu obtiens 4 équations d'inconnues a,b,c,d.

Après transformations, sauf erreur, tu peux arriver à :
$a + 2 b = d$
$c = - 3 b$

$a+2b)B=\begin{pmatrix}a\ \ \ \ \ \ \ b\cr -3b\ \ a+2b\end{pmatrix}$

Tu peux utiliser cette expression de $B$ pour la seconde question.

@mtschoon j'ai trouver c=−3b mais j'ai pas trouver a+2b=d comment avez-vous fait svp ? Pouvez-vous me donner un indice ?

@Joyca-Le-Boss ,

J'ai obtenu d'abord
$2 a + c = 2 a - 3 b$
$- 3 a + 4 c = 2 c - 3 d$
$2 b + d = a + 4 b$
$- 3 b + 4 d = c + 4 d$

Ensuite, j'ai transformé.

@mtschoon Vous avait transformé en isolant ou avec combinaison Linéaire?

@mtschoon Comme résultat j'ai trouver a+2b=d
c=−3b
mais également : -3a + 3d = -2c Est-ce normal ?

Oui, c'est normal.

@mtschoon et donc je le note pas dans le resultat?

Comme je te l'ai suggéré, calcule a et b en fonction de c et d, ce qui te permettra de faire la seconde question sans difficulté.

@mtschoon donc je note directement le résultat qui est a+2b=d
c=−3b

@Joyca-Le-Boss , je ne sais pas trop ce que tu veux dire par "résultat"

Tu donnes B sous la forme que je t'ai indiqué précédemment (les quatre termes en fonction de a et b)

@mtschoon ok je passe a la question b

@mtschoon ensuite pour trouver l'inverse je dois trouver le det de A qui 11 et ensuite je dois multiplie la matrice A initial et la matrice B qu'on vient de trouver égale 2021-03-07 (3).png