suite arithmétique et géométrique

@Noemi
Bonsoir, j'ai un petit problème en maths sur les suites arithmétique et géométrique
voici l'énoncé.
Apprenti jardinier, Isaac travaille dans un joli jardin d’une surface de 1500 m² de
gazon. Chaque année, 20 % est utilisée pour un potager durant l’été. Tous les ans
en octobre, Isaac enlève 70 m² du potager et le remplace par du gazon.
Les aires sont exprimées en m², arrondies à l’unité.

L’aire initiale 𝑢0 = 1500 et on note
𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑟𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑠𝑎𝑛𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑎𝑔𝑒𝑟 restant au bout de 𝑛 autonmes.
Justifier que pour tout entier naturel n, on a 𝑢𝑛+1 = 0.8𝑢𝑛 + 70
Calculer l’aire de la pelouse à la fin de l’automne de la première année, puis la
fin de l’automne de la deuxième année. (𝑢1 = ⋯
𝑒𝑡 𝑢2 = )
On considère la suite (𝒗𝒏) définie par 𝒗𝒏 = 𝒖𝒏 − 𝟐𝟕𝟎
a) Déterminer 𝒗𝒏+𝟏 en fonction de 𝒗𝒏
b) En déduire 𝒗𝒏 en fonction de n.
Démontrer alors que, pour tout entier naturel n, on a 𝒖𝒏 = 𝟏𝟐𝟑𝟎 ∗ 𝟎. 𝟖
𝒏 + 𝟐𝟕𝟎
Calculer l’aire de la pelouse (gazon sans le potager) au bout de 10 automnes.
Déterminer le sens de variation de la suite (𝒖𝒏).
Isaac se demande après combien d’années l’aire de la pelouse sera inférieure à 200 m² ?

@Joyca-Le-Boss Bonsoir,

Indique tes calculs et la question qui te pose problème.

@Noemi
L’aire initiale 𝑢0 = 1500 et on note
𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑟𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑠𝑎𝑛𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑎𝑔𝑒𝑟 restant au bout de 𝑛 autonmes.
Justifier que pour tout entier naturel n, on a 𝑢𝑛+1 = 0.8𝑢𝑛 + 70

Cela me pose problème, je suis bloqué à partir de là

@Noemi
je n'arrive pas à trouvé la raison.
Pouvez vous me dire quelle formule utilisé ?

@Joyca-Le-Boss

Chaque année 20% est utilisé pour le potager, donc il reste 1-20% = ...
et ensuite on ajoute 70 $m^2$ de gazon.
donc $u_{n+1}= ....$

Ce message a été supprimé !

donc si j'ai bien compris je doit soustraire 1 (qui est l'année)par 20%
et ensuite je doit multiplié 70m² par le résultat trouvée
est ce correct ?

@Noemi
il y a une chose que je n'ai pas compris vous avez soustrait 1 par 20% mais le 1 n'a aucune unité au finale le résultat donnera
moins19% ou moins19 tout court ?

@Joyca-Le-Boss

1-20 % =1 - 0,2 = 0,8

Et on ajoute 70, ce n'est pas une multiplication !

@Noemi
donc un+1=?

@Joyca-Le-Boss

L'énoncé te donne la réponse :
$u_{n+1}=0,8u_n+70$

Passe à la question 2, sachant que $u_0=1500$ .

@Noemi
OK, devons nous pas trouvé Un?

@Joyca-Le-Boss

Non
La question 2 demande de calculer $u_1$ et $u_2$ .
Donc comme
$u_{n+1}=0,8u_n+70$
Et sachant que $u_0=1500$ .
Tu remplaces $n$ par 0, soit
$u1=0,8u0+70=0,8×1500+70=...u_1=0,8u_0 + 70 = 0,8\times 1500 +70 = ...$

Puis tu remplaces $n$ par 1.
....

@Noemi
J'ai trouvé 1270 pour U1
et pour U2 j'ai trouvée 1200
Est-ce correct ?

@Joyca-Le-Boss

$u_1$ est juste
$u_2$ est faux;
$u2=0,8×u1+70u_2=0,8\times u_1+70$

@Noemi
donc U2=1086 ?
Et la question 3 je suis perdu je sais pas comment procéder.
Dois-je utilisé la même formule que la deuxième question ?

@Joyca-Le-Boss

$u_2$ est juste.

Question 3 :
$v_{n+1}=u_{n+1}-270$
Remplace $u_{n+1}$ par son expression en fonction de $u_n$ .
Puis simplifie l'expression.

@Noemi
donc je remplace Un+1 par 0,8Un+70
vue que Un+1=0,8Un=70
c'est à dire que 0,8Un=70 et l'expression de Un+1 ?
je me trompe ou pas ?

@Joyca-Le-Boss

Tu te trompes.

Tu dois écrire $v_{n+1}$ en fonction de $u_n$ puis de $v_n$ .

@Noemi
vous pouvez me donnez un indice ?

@Joyca-Le-Boss
SVP

@Joyca-Le-Boss

J'ai indiqué ce qu'il fallait faire :

$v_{n+1}=u_{n+1}-270$
Remplace $u_{n+1}$ par son expression en fonction de $u_n$ .
Soit remplacer $u_{n+1}$ par $0,8u_n+70$ .
Puis simplifie l'expression.

L'expression de $v_n$ est-elle correcte ?

@Noemi
Oui, elle est correct

@Noemi
Non, elle n'est pas correct pardon ce n'est pas Vn+1=UIn+1−270 c'est Vn=Un-270
il n'y a pas de n+1 dans le troisième exercices

@Joyca-Le-Boss

Indique tes calculs pour la question 3.

@Noemi
donc j'ai fait une égalité Vn=Vn+1
en sachant que Vn=Un-270 mais a partir de la je bloque car je ne vois pas à quoi correspond Vn+1

@Noemi
est ce le bon procéder pour Déterminer 𝒗𝒏+𝟏 en fonction de 𝒗𝒏 ?

@Joyca-Le-Boss

Ecrire sans le démontrer que $v_{n+1}=v_n$ est faux.

Reprend mes indications ou je te demande juste de remplacer (écrire à la place).

@Noemi
vous vous êtes trompé dans la consigne je pense car sur ma feuille il y a écrit Vn=Un-270 ET pas Vn+1=Un+1-270

@Noemi
Et si je remplace comme vous avez dit sa va me donner
Vn+1=0,8Un+70-270
est ce correct ?

@Noemi
Vous avez trouvé quoi pour l'ex 3a ?

@Joyca-Le-Boss

Simplifie l'expression, tu trouves
$v_{n+1}=0,8u_n-200$
puis tu remplaces
$u_n$ par $v_n+270$
soit
$v_{n+1}=0,8(v_n+270) - 200$
= ....

vérifie l'énoncé.

@Noemi Exscusez moi donc la reponse pour la premier question c'est juste : 2021-03-16 (6).png
Donc c'est une Suite Arithmetique !
La dans la question 1 on nous U0 = 1500 ! et on nous indique egalement que n egale a tout entier naturel mais la vrai question est Comment justifier que tout entier naturel n , on a
Pouvez-vous m'aider à le justifier svp ?

@Joyca-Le-Boss

Ce n'est pas une suite arithmétique, il faudrait que ce soit de la forme :
$u_{n+1}=u_n+r$
J'ai indiqué les éléments de réponse pour la première question.

Vérifie l'énoncé !!

@Noemi Pouvez-vous me les résumés pour que ca soit plus correct svp ?

@Joyca-Le-Boss

Reprends mes réponses.

@Noemi donc pour la question 1 ,il faut le justifier en notant juste ca 2021-03-16 (6).png
Est-ce correct ?

@Joyca-Le-Boss

Non,

Regarde mes réponses.
Chaque année 20% est utilisé pour le potager, donc il reste 1-20% = ...
et ensuite on ajoute 70 $m^2$ de gazon.
donc $u_{n+1}= ....$

Ce message a été supprimé !

@Noemi
donc la réponse à la 1er question c'est 0,8+70=Un+1
Est ce correct?
et doit on rajouté quelque chose d'autre ou on s'arrête là ?

@Joyca-Le-Boss
Non

Compléte :
Chaque année 20% est utilisé pour le potager, donc il reste 1-20% = ...
et ensuite on ajoute $70 \ m^2$ de gazon.
donc $u_{n+1}=....$

@Noemi
Donc la réponse vu que vous m'avez dit d'additionner .
Un+1 =0,8+70m²
Est-ce correct?

@Joyca-Le-Boss

Il manque $u_n$ .

@Noemi
La réponse du première exercice est
Un+1=0,8Un+70m²
Je me trompe ?

@Joyca-Le-Boss

C'est la réponse, mets l'unité à part.

@Noemi
Je dois 'isoler ?
comment dois je faire?

@Noemi
je pense que j'ai trouvé les réponses à la question 3A :

On considère la suite (𝒗𝒏) définie par 𝒗𝒏 = 𝒖𝒏 − 𝟐𝟕𝟎
a) Déterminer 𝒗𝒏+𝟏 en fonction de 𝒗𝒏
b) En déduire 𝒗𝒏 en fonction de n.
donc pour déterminer Vn+1 en fonction de Vn j'ai fais;
𝒗𝒏+𝟏=0,8un+70
𝒗𝒏+𝟏=0,8Un+70-270
𝒗𝒏+𝟏=0,8Un-200
𝒗𝒏+𝟏=0,8(Vn+270)-200
𝒗𝒏+𝟏=0,8Vn+216-200
𝒗𝒏+𝟏=Vn+16
Est-ce correrct?
et la question b j'ai rien trouver pourriez vous me montrer vos réponse pour la question b ?

@Joyca-Le-Boss

Une erreur à la fin.
Tu dois trouver
$v_{n+1}=0,8v_n+16$

La suite n'est pas géométrique donc à mon avis il y a une erreur dans l'énoncé, d'ou ma demande de vérifier l'énoncé.

@Noemi
l'énonce de l'exercice 3 ou 1 ?

@Joyca-Le-Boss

L'énoncé de cet exercice.

@Noemi
voici la consigne de l'exercice 3
On considère la suite (𝒗𝒏) définie par 𝒗𝒏 = 𝒖𝒏 − 𝟐𝟕𝟎
a) Déterminer 𝒗𝒏+𝟏 en fonction de 𝒗𝒏
b) En déduire 𝒗𝒏 en fonction de n

@Noemi
vous pouvez me montrer vos calcule pour voir ou est mon erreur ?

@Joyca-Le-Boss

Tu as écris :
$v_{n+1}=0,8v_n+216-200$
puis : $v_{n+1}=v_n+16$ 0u est passé le 0,8 ???

Donc $v_{n+1}=0,8v_n+16$

@Noemi
ah oui désoler c'est une erreur de frapper.
Et le raisonnement est il juste est ce la meilleur manière de déterminer 𝒗𝒏+𝟏 en fonction de 𝒗𝒏 ?

@Joyca-Le-Boss

Oui le calcul est juste.

@Noemi
ok merci , mais j'ai un petit problème pour l'exercice 3 b je ne sais pas comme procédé voici la consigne :
On considère la suite (𝒗𝒏) définie par 𝒗𝒏 = 𝒖𝒏 − 𝟐𝟕𝟎

b) En déduire 𝒗𝒏 en fonction de n

je suis bloquer ?
pouvez vous me montrer vos calcul ?

@Joyca-Le-Boss

Pour la question 3 b), tu dois utiliser le résultat de la question 3 a)

Vu que tu n'obtiens pas une suite géométrique, il faut faire une transformation.
Soit définir une nouvelle suite :
$w_n= v_n-80$ et procéder comme pour la question 3 a.

@Noemi
donc
Wn=Vn −80
Wn=(0,8+16)-16=>car Vn+1=0,8+16
Wn=0,8+16-16=0,8
Wn=0,8
est ce correct?

@Joyca-Le-Boss

Non, tu as oublié $v_n$ .

@Noemi
je ne vois pas mon erreur. Pourriez vous détailler d'avantage SVP ?

@Joyca-Le-Boss

Reprends les calculs depuis le début
$w_{n+1}=v_{n+1}-80$
$w_{n+1}=0,8v_{n}+16-80$
....

@Noemi
lorsque je vais faire le calcule en simplifiant par quoi devrais je remplacer Vn ?

@Joyca-Le-Boss

Tu remplaces $v_n$ par $w_n+80$ .

@Noemi
donc j'ai fais
Wn+1=Vn+1-80
Wn+1=0,8+16-80
Wn+1=0,8×(Wn+80)+16-80
Wn+1=0,8Wn+64-64
Wn+1=0,8Wn
Est ce correct ?

@Joyca-Le-Boss

Il manque $v_n$ à la deuxième ligne.

Le résultat est correct, tu en déduis la nature de la suite $w_n$ puis tu peux exprimer $w_n$ en fonction de $n$ .

@Noemi
vous pouvez me donner la déduction de la nature de la suite ?

@Joyca-Le-Boss

C'est du cours.
C'est une suite géométrique de premier terme $w_0$ à calculer et de raison 0,8.

Ce message a été supprimé !

@Noemi
donc la nature de la suite est géométrique !
et comment peut on exprimer Wn en fonction de N ?

@Joyca-Le-Boss

C'est du cours.

@Noemi
Voici se que j'ai trouvé pour la question suivant :
4: Démontrer alors que, pour tout entier naturel n, on a 𝒖𝒏 = 𝟏𝟐𝟑𝟎×𝟎. 𝟖𝒏 + 𝟐𝟕𝟎
Comme Vn=Un-270 =>Un=Vn+270
donc Un=1230× 0,8n+270

@Noemi
est ce correct ?

@Joyca-Le-Boss

Non,
Il faut démontrer en utilisant les résultats de la question 3 b).
Question que tu dois terminer.

De plus il n'est pas possible d'arriver à ce résultat, d'ou mes multiples remarques pour que tu vérifies l'énoncé. Demande à ton professeur ou à tes camarades pour vérifier l'énoncé.

@Noemi
l'énoncé de la question 3 B OU A ?

@Noemi Vous pouvez m'indiquer précisément ce qui cloche dans l'énoncé ?

@Joyca-Le-Boss

Question 3 ou 4.

Termine la question 3 et tu découvriras ou est le problème.

@Noemi
Mais le problème c'est que j'arrive pas à le terminé !

@Noemi
Vous pouvez me donner la réponse parce que je suis bloqué SVP ?

@Joyca-Le-Boss

Tu devrais regarder le cours
suite géométrique : $un=u0×qnu_n= u_0\times q^n$

@Noemi
merci
donc je remplace U0 par quoi ?

@Joyca-Le-Boss

$u_0$ correspond à la valeur du premier terme de la suite.

@Noemi
donc sa ne peux pas être 0,8 car c'est la raison de la suite
donc le premiers terme de la suite est 1500 ?
Est ce correct ?

@Joyca-Le-Boss

Pour la suite $u_n$ c'est bien $u_0=1500$
calcule le premier terme de la suite $v_n$ puis de la suite $w_n$ .

@Noemi
Donc le premier terme de la suite vn
c'est V1=1500×q exposant 1
Est-ce correct ?

@Joyca-Le-Boss

Non,

Tu choisis la relation qui lie $v_n$ et $u_n$ .

@Noemi
Je suis perdu .Pouvez vous m'éclaircir en me disant de quelle relation vous parler ?

@Joyca-Le-Boss

$v_n= u_n-270$

@Noemi
Je ne sais pas comment procéder

@Noemi
je pense que c'est
Vn=1500.qexposant n -270
Est ce correct ?

@Joyca-Le-Boss

$v_n= u_n-270$
si $n = 0$ , $v_0= u_0-270$

de même
$w_n= v_n-80$
$w_0= v_0-80$

@Noemi
Je continue simplifier ?
Ou c'est la réponse?

@Noemi
donc si je remplace U0 par 1500 cela me donnera
Vo=1500-270=1230
donc vo=1230
et même chose pour l'autre
Wo=1230-80= 1150 Est ce correct ?

@Joyca-Le-Boss

C'est correct.
Tu peux donc écrire maintenant la relation de
$w_n$ en fonction de $n$ .

@Noemi
je doit encore rajoute quelque chose ?

@Noemi
peut on répondre à la 4 EM question ?

@Joyca-Le-Boss

La relation de $w_n$ en fonction de $n$ .
puis de $v_n$ en fonction de $n$ .
puis pour la question 4 de $u_n$ en fonction de $n$ .

@Noemi
Pouvez vous me donnez un indice pour que je fasse la relation SVP ?

@Joyca-Le-Boss

J'ai déjà donné la relation, visiblement tu fais peu d'effort. Tu attends que je réalise l'exercice a ta place ce que je ne souhaite pas faire .

$wn=1150×0,8nw_n=1150 \times 0,8^n$
$vn=1150×0,8n+80v_n=1150 \times 0,8^n+80$
Question 4) on déduit
$un=1150×0,8n+80+270=....u_n=1150 \times 0,8^n+80+270 = ....$

Ce qui n'est pas égal à la relation indiquée dans l'énoncé d'ou il doit y avoir une erreur.

Bonjour,

Seulement une remarque.

Comme le dit @Noemi , il y a une erreur dans cet énoncé car $V_n)$ doit être géométrique . C'est un classique !

Une chose surprenante : avec des données différentes et le même texte, il y a un exercice similaire ici, et sans erreur...

c'est l'exercice 2

https://www.annales2maths.com/1s-exercices-suites/

Bizarre...

@mtschoon
ok, je vais essaye de voir d'où viens le problème avec mon prof
et merci à vous et à @Noemi

@Noemi et @mtschoon
donc mon prof ma dit que Vn est bien géométrique !

@Joyca-Le-Boss

Soit il se trompe, soit c'est l'énoncé qui comporte une erreur.

C'est sûr qu'il y a une erreur dans l'énoncé écrit ...

Si les autres données sont bonnes ( ce que j'ignore ! ), pour que la suite $V_n)$ soit géométrique, il faudrait :
$Vn=Un−350\boxed {V_n=U_n-350}$ et non $V_n=U_n-270$

CALCUL :
$V_{n+1}=U_{n+1}-350$
$V_{n+1}=0.8U_n+70-350$
$V_{n+1}=0.8(V_n+350)+70-350$
$Vn+1=0.8Vn+(0.8×350)+70−350V_{n+1}=0.8V_n+(0.8\times 350)+70-350$
$V_{n+1}=0.8V_n+280+70-350$
$V_{n+1}=0.8V_n+350-350$
$V_{n+1}=0.8V_n$
Suite géométrique.

@Joyca-Le-Boss , je te conseille de contacter à nouveau ton professeur (si tu es sûr que l'énoncé que tu as écrit est bien celui donné par ton professeur).

Bonjour,

Quelques pistes pour la fin de cet exercice avec la modification proposée pour la suite auxiliaire $V_n)$

$V_{n+1}=0.8V_n$

$V_0=U_0-350=1500-350=1150$

$(V n)$ suite géométrique de raison $q = 0.8$ et de premier terme $V_0$
Donc : $V_n=V_0q^n=1150(0.8)^n$

$Un=Vn+350=1150(0.8)n+350U_n=V_n+350=\boxed{1150(0.8)^n+350}$

Pour $n = 10$ , $(m2)V_{10}\approx 473.48\ \ (m^2)$

$0<0.8<10\lt 0.8\lt 1$ donc :

$U_n)$ strictement décroissante

$lim⁡n→+∞0.8n=0\displaystyle {\lim_{n\to +\infty} 0.8^n=0}$

$lim⁡n→+∞Un=350\displaystyle {\lim_{n\to +\infty} U_n=350}$

Il n'est pas possible que l'aire de la pelouse soit inférieure à 200 $m^2$

Quelques illustrations avec un tableau,

Valeurs (approchées ) de $U_n$ pour les premières valeurs de n

Valeurs (approchées) pour de plus grandes valeurs de n.
(pour $n≥66n\ge 66$ , les valeurs de $U_n$ sont tellement proches de $350$ , que le tableur arrondit à $350$ )

Bonne lecture.