exercice sur le logarithme népérien

Bonjour, j'ai un peu de mal, avec 3 exercices, pouvez-vous m'aider. Les voici:

Exercice 1
La fonction f est définie sur l'intervalle ]0;+00[ par f(x)=4x-xln(x).
Mila à obtenu à l'aide de sa calculatrice une partie de la courbe représentative de la fonction f présenté ci-contre (On voit une courbe croissante).
Elle émet la conjecture suivante:
"Il semble que la fonction f est positive"

a) Résoudre dans ]0;+00[ l'équation f(x)=0
Donc voila ce que j'ai fait, je pense que c'est juste, mais on sait jamais:

4x-xln(x)=0
x(4-ln(x))=0
Donc x=0

4-ln(x)=0
-ln(x)=-4
ln(x)=4
x=e^4

b) Déterminer le signe de f(x) sur ]0;+00[

limite quand x tend vers 0 de 4x-xln(x)=?
limite quand x tend vers 0 de 4x=0
Limite quand x tend vers 0 de -xln(x)=0
Donc par somme la limite de f(x) quand x tend vers 0=0

Limite quand x tend vers +00 de f(x)=?
x(4-(xln(x)/x)=+00

c)Expliquer pourquoi Mila à pue penser que sa conjecture était vraie.
Je ne comprend pas vraiment, j'ai dû faire une erreur précédemment.

Voila, j'ai un peu de mal. Merci d'avance.

@Rania-Belaidouni Bonjour,

Pour déterminer le signe de la fonction, il faut étudier ses variations.
Calcule la dérivée et étudie son signe.

Bonjour,

Attention, la solution x = 0 (pour la question a) est fausse.

Je te laisse trouver pourquoi.

D'accord merci, je vais continuer, si j'ai besoin d'aide je vous ferez signe.

@Noemi a dit dans exercice sur le logarithme népérien :

Calcule la dérivée et étudie son signe.

Donc j'ai calculé la dérivée:
f(x)=4x-xln(x)
f'(x)=4-1x(1/x)

f'(x)=4x-1(1/x)=0
Donc x est différent de 0
-1/x=-4
1=4x
4x=1
x=1/4

On peut faire le tableau de signe
Avec entre 0 et 1/4 c'est -
et entre 1/4 et +00 c'est +
Donc f est décroissant entre 0 et 1/4 et croissant sur 1/4 et +00

Ensuite pour ça je ne suis pas sur :
La limite quand x tend vers 0 est = +00
La limite quand x tend vers +00 est de +00

@Rania-Belaidouni

Attention, la dérivée est
$4-ln(x)-x\times \dfrac{1}{x} = ....$

3-ln(x)-1 c'est bien cela ?

@Rania-Belaidouni

Non : $f^{'} (x) = 3 - l n (x)$

Résous $f^{'} (x) = 0$ et cherche le signe de la dérivée.

Ca me donne x=e^3
Donc on peut faire le tableau tableau de signe
entre 0 et e^3 le signe de f'(x) est +
donc f est croissant. C'est le contraire entre e^3 et +00.

Ensuite pour les limites:
limite quand x tend vers 0 =-00
limite quand x tend vers +00=+00

Voila c'est bien cela? Et pour la conjecture de Mila, elle à du faire la même erreur que moi, c'est à dire calculé la limite à partir de f(x) et non de f'(x).

@Rania-Belaidouni

Pour les variations de la fonction, il faut calculer les limites de la fonction et non de la fonction dérivée.

As-tu tracé la fonction sur la calculatrice ?

Oui d'accord donc cela nous fait :
lim quand x tend vers 0 de 4x-xln(x)=0
lim 4x=0
lim-xln(x)=0
Donc par somme =0

lim quand x tend vers +00 de f(x)=
c'est surement égal à -00 mais je n'arrive pas à le prouver
Donc par somme = -00

@Rania-Belaidouni

Pour la limite en $+∞+\infty$ , mets $x$ en facteur.
Le résultat est bien $−∞-\infty$ .

Puis tu conclus.

D'accord je ne savais pas et oui c'est ça.

@Rania-Belaidouni

J'ai transféré le sujet, répond sur le nouveau sujet.

As-tu fait la conclusion pour la question 1 de cet exercice ?

Bonjour,

@Rania-Belaidouni ,

Une représentation graphique pour éclairer (peut-être) cet exercice.

La fonction f est définie sur $]0,+∞[]0,+\infty[$ , car la condition d'existence est $x>0x\gt 0$ , à cause du logarithme.

La représentation graphique est la courbe en bleu, le point O(0,0) est non compris vu que $x>0x\gt 0$
$lim⁡x→0+f(x)=0\displaystyle \lim_{x\to 0^+}f(x)=0$
$lim⁡x→+∞f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$
Le sommet S de la courbe a pour coordonnées $e^3;e^3)$
Le pont d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses est l'unique point A de coordonnées ( $e^4,0)$

Conclusion :
La partie de courbe que voit Mila ( schéma que tu ne donnes pas ) doit être une portion de la partie d'abscisse $x∈]0,e3]x\in ]0,e^3]$ vu que tu indiques que le fonction est croissante.
Bien sûr que sa conjecture est fausse vu que la fonction est strictement négative pour $x∈]e4,+∞[x\in ]e^4,+\infty[$

De même que pour l'autre exercice, j'ai tous compris merci beaucoup.

@Rania-Belaidouni

C'est parfait si tu as tout compris.

@Rania-Belaidouni ,

Bravo !