Travaux Dirigés sur les dénombrements

Bonsoir chers @Noemi @mtschoon j'espère que vous allez bien!
J'ai un exercice svp :
Dans une banque, chaque client possède un compte dont le code est composé de 3 lettres et 5 chiffres non nécessairement distincts du type LMD 12345

On suppose que les 3 lettres sont distinctes. Combien peut-on ouvrir de comptes dont le code :
a) Commence par AB
Ma réponse :
N= $A22×A241×105A^2_{2}×A^1_{24}×10^5$
b) Commnce par A
N= $A11×A252×105A^1_{1}×A^2_{25}×10^5$
Voici ma résolution pour les deux premières questions.

@Wil-Fried Bonjour,

Pour le a) si la réponse commence par AB, un seul arrangement possible donc modifie le calcul.
le b) est juste.

@Noemi Je comprend pas pour le a)

@Wil-Fried
Quand tu écris : $A^2_{2}$ cela correspond à 2 arrangements de 2 lettres,
soit AB et BA. l'énoncé indique que le code commence par AB,
soit $A11×A11=1A^1_{1}\times A^1_{1} = 1$

@Noemi Ah d'accord.
Donc c'est $A^1_{1}×A^1_{1}×10^5$ ?

@Wil-Fried

Il manque la troisième lettre.

@Noemi Pour la troisième lettre ça fera $C241C^1_{24}$

@Wil-Fried

Tu peux écrire aussi $A241A^1_{24}$ .

@Noemi D'accord

@Wil-Fried c) le code contient A
N= $A11×A252×3!×105A^1_{1}×A^2_{25}×3!×10^5$

@Wil-Fried

Pourquoi 3! ??, trois possibilités sont possibles pour la lettre A.

@Noemi J'ai mis 3! Car on peut permuter les 3 lettres

@Wil-Fried

Avec la question 1 b) tu as calculé le nombre de code avec A en premier.
Quel est le nombre de code avec A en second ?
Avec A en troisième ?
Donc
....

@Noemi Avec A en second $A11×A11×A241×105A^1_{1}×A^1_{1}×A^1_{24}×10^5$

@Wil-Fried

Non,

Avec A en second, le nombre de code est le même que pour A en premier.

@Noemi De même qu'avec A en troisième ?

@Wil-Fried

Oui.

Bonjour,

@Wil-Fried, autre façon pour le c) si tu veux utiliser 3!, mais en t'y prenant différemment.

Tu dois choisir A (une façon de choisir, mais si tu veux une formule, tu peux écrire $A_1^1$ ou $C_1^1$ si tu le souhaites)

Tu dois choisir 2 lettres parmi 25 distinctes de A ( $C_{25}^2$ façons)

3! étant les dispositions de ces 3 lettres entre elles, le nombre cherché peur s'écrire :

$A11×C252×3!×105A_1^1\times C_{25}^2 \times 3!\times 10^5$

@mtschoon Bonjour, merci pour l'ajout.

De rien @Wil-Fried ,
Les questions sur les dénombrements sont toujours délicates.

Bon travail !

@Noemi a dit dans Travaux Dirigés sur les dénombrements :

@Wil-Fried

Non,

Avec A en second, le nombre de code est le même que pour A en premier.

Bonjour comment vous vous portez?
Certes le résultat est le même madame mais la formalisation est elle la même ? étant donné qu’avec À en premier l’ordre n’a pas tellement d’impact si on suppose À fixée or avec À en position 2 cela influence la formalisation ! Dites le moi si je me trompe!

@mtschoon a dit dans Travaux Dirigés sur les dénombrements :

Bonjour,

@Wil-Fried, autre façon pour le c) si tu veux utiliser 3!, mais en t'y prenant différemment.

Tu dois choisir A (une façon de choisir, mais si tu veux une formule, tu peux écrire $A_1^1$ ou $C_1^1$ si tu le souhaites)

Tu dois choisir 2 lettres parmi 25 distinctes de A ( $C_{25}^2$ façons)

3! étant les dispositions de ces 3 lettres entre elles, le nombre cherché peur s'écrire :

$A11×C252×3!×105A_1^1\times C_{25}^2 \times 3!\times 10^5$

Est ce que cette formule respecte l’ordre selon lequel A doit avoir exactement la la deuxième place?

@Wil-Fried , je pense que tu parles de la question c) où le code contient A

Comme indiqué dans ma réponse, "3! étant les dispositions de ces 3 lettres entre elles"
Ainsi, dans la formule donnée pour le c), A peut être en première position, ou deuxième position ou troisième position.

@mtschoon a dit dans Travaux Dirigés sur les dénombrements :

Bonjour,

@Wil-Fried, autre façon pour le c) si tu veux utiliser 3!, mais en t'y prenant différemment.

Tu dois choisir A (une façon de choisir, mais si tu veux une formule, tu peux écrire $A_1^1$ ou $C_1^1$ si tu le souhaites)

Tu dois choisir 2 lettres parmi 25 distinctes de A ( $C_{25}^2$ façons)

3! étant les dispositions de ces 3 lettres entre elles, le nombre cherché peur s'écrire :

$A11×C252×3!×105A_1^1\times C_{25}^2 \times 3!\times 10^5$

Ah je vois la question est le code dois contenir À mais cependant $A_1^1$ ici matérialise quoi ?

@loicstephan

Comme indiqué dans ma réponse, $A_1^1$ aussi bien que $C_1^1$ veut dire qu'on choisit la lettre A (si tu préfères, on choisit la lettre A parmi la lettre A - vu qu'il y a qu'une seule lettre A...)

Il y a une facon de la choisir.

On pourrait mettre tout simplement 1 (et même ne pas écrire le 1) et noter plus simplement la réponse :

$1×C252×3!×105=C252×3!×1051\times C_{25}^2\times 3!\times 10^5= C_{25}^2\times 3!\times 10^5$

@mtschoon okay merci

@loicstephan , de rien et bonnes réflexions.