Équation différentielle repost

Bonsoir , voici l’énoncé écrit :

Exercice 1 :
Soit l’équation différentielle
(E): $y’+y=(-2x-1)e^(-2x)$

Déterminer les réels M et P pour que la fonction F définie (et dérivable sur R) par f(x) = $mx+p)e^(-2x)$
En déduire la forme des solutions générale deux (E)
Soit f la solution de (E)tel que f(0)=1 . Déterminer l’expression de f(x)
On pose f(x) = $2x+3)e^(-2x)-2e^(-x)$ . Précisez lim f(x) pour x—>+infini.

Exercice 2 :
Soit l’équation différentielle (E): (x-1)y’+y=2x pour tout réel x de l’intervalle ]1;+infini[

Montrez que la fonction f définie sur ]1;+inf[ pour f(x) = $x^2)/(x-1)$ est une solution de (E)
Montrez que , quel que soit la constante C la fonction g:x-> g(x) = $C / (x - 1)$ est une solution de (E) : (x-1)y’+y= 2x
Montrez que pour tout C Réel h(x)= $f (x) + y (x)$ [texte du lien](url du lien)est une solution de (E)
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N’étant pas très bon malheureusement je me retrouve bloqué dès la 1 de l’exercice 1 :
Exercice 1 ;
1 . J’ai calculer f’(x) qui est de la forme f=Uv avec u = mx+p et u ‘ = m
v = $e^(-2x)$ et v’ = $2e^(-2x)$ donc :
f’(x) = $m*e^(-2x)+(mx+p)(-2e^[-2x])$

Un exercice par post. Ouvre un autre sujet pour le deuxième exercice.
Pour la question 1)
Tu calcules la dérivée: $f'(x)= me^{-2x}-2(mx+p)e^{-2x}= (-2mx-2p+m)e^{-2x}$
Tu écris ensuite $f'(x)+f(x)= (-2mx-2p+m+mx+p)e^{-2x}$
Simplifie cette expression et tu la compares avec $2x-1)e^{-2x}$
Tu arrives à un système :
$- m = - 2$ et
$- p + m = - 1$
Système à résoudre.

Indique tes résultats et éléments de réponse pour les autres questions si tu souhaites une vérification.

@Noemi
Donc j’ai résolu là système :
-m=-2 d’où m=2
Et
-p+2=-1
p=3 donc les valeurs de m et p pour que f soit solution sont m = 2 et p=3
Pour la 2:
On en déduit alors que la forme des solutions générale est : $2x+3)e^(-2x)$ ?

@Iryezu

C'est correct.

@Noemi je ne vois pas vraiment quelle méthode adopter pour la 3), j’ai essayer de remplacer les x par des 0 dans $f(x)=(2x+3)e^(-2x)$ et ducoup il faudrai remplacer le 3 par C=1 pour obtenir f(0)=1 mais je ne suis vraiment pas sur

@Iryezu

As-tu répondu à la question 2 ?

@Noemi Oui j’ai dit que ducoup la forme des solutions générales est une fonction affine tel que : $f(x)=(2x+3)e^(-2x)$

@Iryezu

Il manque la solution de l'équation sans second membre.
$y^{'} + y = 0$

@Noemi c’est à dire je n’ai pas vraiment compris ?

@Iryezu

C'est le cours.
La solution d'une équation différentielle avec second membre est la somme d'une solution de l'équation sans second membre plus la solution d'une équation particulière de l'équation avec second membre.

il faudrai donc rajouter une solution en plus ? Dans mon cours on me dit que pour une equation du type y'=ay+f la solution est :
$y(x)-f(x)=Ce^(ax)$

@Iryezu

Oui
la solution d'une équation : $y^{'} = a y$ pour solution $y=Ce^{ax}$
Applique cette relation.

@Noemi j'ai trouver comme solution : $y(x)=e^(-2x)(Ce^(x)+2x+3)$

@Iryezu
non,

La solution de $y^{'} = - y$ est $y=Ce^{-x}$

@Noemi Je dois alors remplacer $Ce^x$ par $Ce^-x$ dans l'expression que j'ai donner ?

@Iryezu

La solution est $y = Ce^{-x}+(2x+3)e^{-2x}$

@Noemi ah il fallai additioner les 2 solutions d'accord merci .
Ducoup pour la 3)
j’ai essayer de remplacer les x par des 0 dans
$y=Ce^-x+(2x+3)e^-2x$
$y = C e ° + (2 * 0 + 3) e °$
$y = C + 3$
alors : C = -2 car -2+3=1 donc :
lexpression de f(x) pour f(0)=1 vaut :
$f(x)=-2e^-x+(2x+3)e^-2x$

@Iryezu

C'est correct.

@Noemi et ducoup pour la limite de la 4) :
en + infini :
lim (2x+3) = +infini
lim e^-2x = 0
PAR PRODUIT limite de (2x+3)e^-2x = 0
lim (2x+3)e^-2x = 0
lim 2e^-x = 0
PAR DIFFERENCE lim f(x) = $2x+3)e^[−2x]−2e^−x$ = 0

@Iryezu
C'est correct.

@Noemi d’accord merci beaucoup pour votre aide , je me suis lancer dans l’exercice 2 (sur un autre post)