3. systeme type a^2-b^2=c

systeme type a^2-b^2=c

  • L

    rebonsoir @noemie @mtschoon
    en fait j'ai un systeme de la forme
    a2−b2=ca^2-b^2=ca2−b2=c
    ab=dab=dab=d
    je ne vois pas trop quelle est la methode que je peux utilise
    en me refferant au identite remarquable je vois pas toujours comment procede j'ai mme essaiye de trasformer a2−b2=ca^2-b^2=ca2−b2=c en
    (a−b)(a+b)=c(a-b)(a+b)=c(a−b)(a+b)=c
    et faire une substitution j'y arrive pas toujours merci de me debloquer

    Simaths N 2 réponses
  • Simaths

    @loicstephan
    Bonjour, pour moi (a+b)(a-b)=c signifie que (a+b)(a-b)=1*c, donc il ya deux conditions

    1. si c>1 alors, a+b=c et a-b=1
      Donc
    • a+b=c et ab=d tu as le la somme et le produit de deux nombres, tu passes l'équation du second degré qui nous dit, X²-S(x)+P=0, s=c=a+b et p=d=ab
      Et je crois bien avec ça tu pourras trouver solution
  • N
    Modérateurs

    @loicstephan Bonjour,

    De la deuxième équation, en supposant aaa différent de 000; tu déduis b=dab= \dfrac{d}{a}b=ad​ que tu remplaces dans la première équation.

    Tu obtiens une équation du quatrième degré pour aaa.
    Tu poses e=a2e = a^2e=a2 et tu résous l'équation.

    L 1 réponse
  • mtschoon

    Bonjour,

    Ce n'est pas indiqué, mais je pense que les inconnues sont a et b (nombres réels).

    L'idée de @Simaths est intéressante mais elle ne peut pas fonctionner.
    De l'égalité (a+b)(a−b)=1×c(a+b)(a-b)=1\times c(a+b)(a−b)=1×c on ne peut pas déduire que a+b=ca+b=ca+b=c et a−b=1a-b=1a−b=1 (ni que a+b=1a+b=1a+b=1 et a−b=ca-b=ca−b=c )

    Un exemple numérique pour comprendre

    Imaginons a+b=4a+b=4a+b=4 et a−b=3a-b=3a−b=3 (c'est à dire a=3.5a=3.5a=3.5 et b=0.5b=0.5b=0.5)

    (a+b)(a−b)=12(a+b)(a-b)=12(a+b)(a−b)=12 <=> 4×3=1×124\times 3=1\times 124×3=1×12

    On ne peut pas déduire que 4=14=14=1 et 3=123=123=12 (ni que 4=124=124=12 et 3=13=13=1)...

    Utiliser la méthode par substitution proposée par @Noemi

  • L

    @Noemi je suis passé par la décomposition en produi de facteur j’ai isolé (a+b)(a−b)=c(a+b)(a-b)=c(a+b)(a−b)=c donc (a+b)=c/(a−b)(a+b)=c/(a-b)(a+b)=c/(a−b) de la j’isole a et j’obtien un 3ème degré dont une solution est est-2 une factorisation est (x+2) je peux déterminer l’équation second degré associée par identification est ce que cette methode aussi peut passer!

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @loicstephan

    Comment isoles tu aaa et comment trouves-tu une valeur de xxx ?
    L'équation ne comporte pas xxx.
    Les solutions sont fonctions de ccc et ddd.
    Pour aaa différent de 000.
    a2−d2a2=ca^2-\dfrac{d^2}{a^2}=ca2−a2d2​=c
    soit
    a4−ca2−d2=0a^4-ca^2-d^2=0a4−ca2−d2=0
    en posant X=a2X= a^2X=a2
    X2−cX−d2=0X^2-cX-d^2= 0X2−cX−d2=0
    Equation du second degré à résoudre.

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  • L

    @Noemi bsr madame je voulais dire (à+2 )

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @loicstephan

    Indique tes calculs.

    L 1 réponse
  • L

    @Noemi j’ai le système (a+b)(a−b)=c(a+b)(a-b)=c(a+b)(a−b)=c Et ab=dab=dab=d
    Soit (a+b)=c/(a−b)(a+b)=c/(a-b)(a+b)=c/(a−b) soit a=(c/(a−b))−ba=(c/(a-b))-ba=(c/(a−b))−b Soit
    a=c−ba+b2a=c-ba+b^2a=c−ba+b2 soit a+ba=c+b2)a+ba=c+b^2)a+ba=c+b2)
    Soit a(1+b)=c+b2a(1+b)=c+b^2a(1+b)=c+b2 soit $a=(c+b^3)/(1+b) en remplaçant à partir sa valeur dans la seconde équation on obtient
    ((c+b2)/(1+b))∗b)=−6((c+b^2)/(1+b))*b)=-6((c+b2)/(1+b))∗b)=−6
    Soit (cb+b3)/(1+b)=−6(cb+b^3)/(1+b)=-6(cb+b3)/(1+b)=−6 soit cb+b3=−6−6b−cb+b^3=-6-6b-cb+b3=−6−6b−
    Soit cb+b3+6+6b=0cb+b^3+6+6b=0cb+b3+6+6b=0 Il y a donc le cbcbcb qui m’empêche d’évoluer

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @loicstephan
    Tu écris :
    "Soit (a+b)=ca−b(a+b)=\dfrac{c}{a-b}(a+b)=a−bc​ soit a=ca−b−ba=\dfrac{c}{a-b}-ba=a−bc​−b Soit

    a=c−ba+b2a=c-ba+b^2a=c−ba+b2 "

    Il manque le dénominateur
    a=c−ba−b2a−ba= \dfrac{c-ba-b^2}{a-b}a=a−bc−ba−b2​

  • mtschoon

    Bonjour,

    @loicstephan , ta méthode est bien tortueuse mais elle doit pouvoir fonctionner (et arriver à la méthode proposée au départ)

    Pour a≠ba \ne ba​=b,
    a=c−ba−b2a−ba=\dfrac{c-ba-b^2}{a-b}a=a−bc−ba−b2​
    a(a−b)=c−ba−b2a(a-b)=c-ba-b^2a(a−b)=c−ba−b2
    Après développements et transformations, tu dois arriver, par exemple, à b2=c−a2b^2=c-a^2b2=c−a2

    La seconde équation est ab=dab=dab=d (peut -être que d=−6d=-6d=−6 d'après ton dernier message ?)
    En élevant au carré (avec la condition "ab et d de même signe")
    (Si d=−6d=-6d=−6, a et b doivent être de signe contraire)

    a2b2=d2a^2b^2=d^2a2b2=d2
    a2(c−a2)=d2a^2(c-a^2)=d^2a2(c−a2)=d2
    a2c−a4=d2a^2c-a^4=d^2a2c−a4=d2
    a4−ca2−d2=0\boxed{a^4-ca^2-d^2=0}a4−ca2−d2=0​
    Tu arrives à la même équation que dans la proposition donnée au début de la discussion.
    Equation bicarrée
    Changement d'inconnue X=a2X=a^2X=a2
    Equation auxiliaire :X2−cX−d2=0X^2-cX-d^2=0X2−cX−d2=0

    Avec les conditions imposées, tu trouves la (ou les) valeurs solutions de X, puis de a, puis de b.

    L 1 réponse
  • L

    @mtschoon
    @mtschoon
    @Noemi bonjour merci pour les deux méthodes elle aboutisse toutes à l’équation degré 4

  • mtschoon

    Bonjour,

    Tout à fait @loicstephan ,

    Comme indiqué, cette équation du 4ème degré est bicarrée ce qui simplifie sa résolution.
    Avec le changement d'inconnue X=a2X=a^2X=a2, on se ramène à résoudre une équation du second degré ( et ainsi utiliser les formules usuelles de résolution d'équation du second degré) pour trouver X et pouvoir pousuivre.

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