Équation différentielle

Bonsoir, je bloque depuis quelque jours sur mon devoir maison .. En effet , l'exercice me paraît pourtant simple mais je suis bloquée sur la première question . On me demande de trouver une fonction F répondant à la condition suivante : " En chacun de ses points , la pente de la tangente est égale au double de la somme des coordonnées du point" et la première question est : " Montrer que F vérifie l'équation différentielle (E) : y' = 2y+2x . De ce fait, je pensais avoir trouver la fonction F qui serait alors " F(x) = x2" mais si je résout alors " y' - 2y" je ne trouve pas 2x ... Merci de votre aide .

Bonjour,

y' = 2y+2x
y' - 2y = 2x

solutions de y'-2y = 0 :
y = A.e^(2x)

Solution particulière de y' - 2y = 2x
y = bx + c
y' = b
y'-2y = -2bx - 2c + b
à identifier avec y' - 2y = 2x

--> b = -1 et b-2c = 0
c = b/2 = -1/2
Une Solution particulière est donc : y = -x - 1/2

Solutions générales de y' = 2y+2x :

y = A.e^(2x) - x - 1/2

F(x) = A.e^(2x) - x - 1/2

Avec A une constante réelle, dont la valeur est à déterminer à partir d'une condition initiale.

Vérification :

F(x) = A.e^(2x) - x - 1/2
F'(x) = 2A.e^(2x) - 1

F'(x) - 2F(x) = 2A.e^(2x) - 1 - 2*(A.e^(2x) - x - 1/2)
F'(x) - 2F(x) = 2x

et donc c'est OK

@Black-Jack a dit dans Équation différentielle :

y'-2y = -2bx - 2c + b

Merci beaucoup mais je n'ai pas compris cette étape : y'-2y = -2bx - 2c + b

On me demande ensuite de déterminer l'expression de g ( la courbe solution au problème) qui passe par le point A ( 0, 1/2):
J'ai alors remplacé grâce a l'expression précédente :
1/2 = A.e^(0) - 0 - 1/2
1/2 = A.e1 - 1/2
A = 1/e1
Est-ce correct ?

@jadedslv Bonsoir,

Une erreur $e^0= 1$ en non $e^1$

Effectivement , alors cela veut dire que A = 0 ? et que l'expression de g est : e2x- x - 1/2 ?

@jadedslv

Non : $A = 1$ et l'expression est bien $e^{2x}-x -\dfrac{1}{2}$ .

Bonjour,

@jadedslv

Tu as indiqué : "je n'ai pas compris cette étape : y'-2y = -2bx - 2c + b

Si ça peut t'être utile, j'explicite le recherche d'une solution particulière de l'équation générale : $y^{'} - 2 y = 2 x$

Le membre de droite est un polynôme du premier degré.
On recherche donc une fonction telle que le membre de gauche $f^{'} (x) - 2 f (x)$ soit un polynôme du premier degré.
On choisit pour cela f(x) polynôme du premier degré (la dérivée sera une constante)

Tu poses $y = f (x) = a x + b$ ou $b x + c$ ou $m x + p$ . Comme tu veux.

Je fais le calcul avec $y = f (x) = a x + b$ donc $f^{'} (x) = a$ et je remplace dans l'équation différentielle.

Pour tout x réel, on cherche a et b tels que :
$a - 2 (a x + b) = 2 x$
En développant : $a - 2 a x - 2 b = 2 x$
En regroupant et en ordonnant : $- 2 a x + (a - 2 b) = 2 x$ , c'est à dire :
$- 2 a x + (a - 2 b) = 2 x + 0$

Par identification ( pour que deux polynôme soient égaux pour tout x réel, il faut et il suffit que les coefficients des termes de même degré soint égaux entre eux)
On obtient donc le système :
${−2a=2a−2b=0\begin{cases}-2a=2\cr a-2b=0\end{cases}$

Tu peux résoudre par substitution
Avec la premiere équation, tu obtiens $a = - 1$
En substituant dans la seconde équation, après calcul, tu trouves $b=−12b=-\dfrac{1}{2}$

La solution particulière trouvée est donc $f(x)=−x−12\boxed{f(x)=-x-\dfrac{1}{2}}$

Lorsque tu auras compris, tu pourras refaire le calcul proposé dans la première réponse en prenant
$f (x) = b x + c$

J'ai compris merci beaucoup

@jadedslv , de rien !

Bon travail.