Mathématiques fonction inverse

[megane]

Bonsoir mon prof m'a donné un dm maison à faire et je n'y arrive pas . Vous pouvez m'aider s'il vous plaît...

Un transporteur souhaite minimiser le coût de carburant d'un trajet de 1 000 km en fonction de la vitesse moyenne v du camion. La consommation en carburant exprimée (en L.h-1) est donnée en fonction de v (en km.h-1) par :
C(v) = 256÷30+v2 ÷750'
V variant entre 0 et 120 km.h-1.
Le prix d'un litre de carburant est de 1,5€.

1: Exprimer en fonction de v la durée t du trajet ?
2: Montrer que l'expression P(v) représentant le coût en carburant du trajet est :
P(v) = 12800÷v+2v
3.(a): Montrer que : P'(v)= 2(v-80)(v+80)÷v2
(b): Étudier les variations de P ]0;120].
(c): En déduire la vitesse moyenne de conduite que va conseiller le transporteur au camionneur ?

[Black-Jack]

Bonjour,

C(v) = (256/30) + v²/750

1. Pour 1000 km : 1000 = v * t
   t = 1000/v

P(v) = Prix au litre * C(v) * t
P(v) = 1,5 * ((256/30) + v²/750) * 1000/v
P(v) = 12800/v + 2v

A comprendre évidemment ... et essaie de continuer.

[JUTSU]

@Black-Jack bonjour, nous devons faire comment si nous n'avons toujours pas compris ??

[Black-Jack]

@JUTSU a dit dans Mathématiques fonction inverse :

@Black-Jack bonjour, nous devons faire comment si nous n'avons toujours pas compris ??

Bonjour,

D'abord on relit son cours... et on essaie de bien le comprendre.

J'aide avec des explications complémentaires ... mais sans connaître le cours, tu ne pourras pas suivre.

C(v) = (256/30) + v²/750

Avec C(v) la consommation du véhicule en litres/heure en fonction de la vitesse v (en km/h)

Exemple : supposons une vitesse du véhicule de 50 km/h ... on aurait dans le formule v = 50
et on pourrait calculer Cv = (256/30) + 50²/750 = 11,87, ce qui indiquerait qu'en roulant à 50 km/h, le véhicule consomme chaque heure, 11,87 litres de carburant

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1. Exprimer en fonction de v la durée t du trajet ?

On sait que le trajet fait 1000 km, si le véhicule roule à une vitesse v (en km/h), alors la durée de trajet est t = 1000/v (heures)

exemple si v = 50 km/h, le trajet de 1000 km durerait t = 1000/50 = 20 heures.

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Consommation de carburant pour faire 1000 km = consommation à l'heure X durée du trajet (en heures)

Or la consommation à l'heure (en fonction de la vitesse) est donnée dans l'énoncé, c'est : C(v) = (256/30) + v²/750

et la durée de trajet a été calculée (en fonction de la vitesse), c'est t = 1000/v

--> Quantité de carburant pour faire 1000 km = [(256/30) + v²/750] X 1000/v

Quantité de carburant pour faire 1000 km = (256/30) X (1000/v) + (v²/750) X 1000/v

Quantité de carburant pour faire 1000 km = 256000/(30v) + 1000v²/(750.v)

Quantité de carburant pour faire 1000 km = 8533,333/v + 1,333 v

Prix du carburant pour faire 1000 km = [Quantité de carburant pour faire 1000 km] X Prix du litre de carburant

P(v) = ( 8533,333/v + 1,333 v) * 1,5

P(v) = 12800/v + 2v

---

a)

P(v) = 12800/v + 2v

On cherche à exprimer P'(v), donc la dérivée de P(v) par rapport à la vitesse..

Se rappeler comment calculer la dérivée qu'un quotient (voir dans le cours si on l'a oublié) ...

P'(v) = -12800/v² + 2
P'(v) = (2v² - 12800)/v²
P'(v) = 2.(v² - 6400)/v²
P'(v) = 2.(v² - 80²)/v²
P'(v) = 2.(v - 80)(v + 80)/v²

b)
Déterminer le signe de P'(v) en fonction de v (pour v dans [0 ; 120]
...
A continuer.

[Noemi]

@megane Bonsoir,

1. La vitesse moyenne : $v=\frac{d}{t}$ donc $t=....$

2. $P(v)=1,5\times C(v)\times t$

[mtschoon]

Bonjour,

@Megane, pour t'aider à comprendre, si cela t'est nécessaire, je te donne une explication complémentaire, très explicite j'espère.
Ce sera la 3ème explication que tu obtiens, mais ces explications ne sont pas différentes, elles sont seulement exprimées un peu différemment.

Pour la 1)
Tu dois savoir depuis longtemps que la vitesse moyenne est égale à la distance parcourue divisée par la temps mis à la parcourir.

Ici, le temps $t$ est en heures, la distance $d$ est en km et la vitesse $v$ est km/h.

Tu obtiens ainsi, comme déjà indiqué : $v=\frac{d}{t}$

$d=1000$ donc $v=\frac{1000}{t}$
En multipliant par $t$, tu obtiens $vt=1000$
En divisant par $v$, tu obtiens : $\boxed{t=\frac{1000}{v}}$

Pour la 2), tu sait que , pour le trajet :
le prix d'un litre de carburant est $1.5$ euros
la consomation en litres par heure est $C(v)$
le nombre d'heures est $t$

Le côut total du trajet, noté $P(v)$ est donc, en euros :
$\boxed{P(v)=1.5\times C(v)\times t}$

Tu n'as plus qu'à remplacer $C(v)$ par l'expression donnée dans l'énoncé et $t$ par l'expression trouvée dans la question 1), pour trouver la formule souhaitée :
$\boxed{P(v)=\frac{12800}{v}+2v}$

Pour la 3), $v$ est la variable qui s'appelle traditionnellement $x$ dans ton cours sur l'étude des fonctions.
Dans ton devoir, il faut l'appeller $v$, mais pour mieux comprendre, sur ton brouillon, tu peux l'appeler $x$:

$P(x)=\frac{12800}{x}+2x=12800(\frac{1}{x})+2x$

Les dérivées usuelles te donnent :
$P^{\prime }(x)=12800(-\frac{1}{x^2})+2=\frac{2x^2-12800}{x^2}$

$P^{\prime }(x)=\frac{2(x^2-6400)}{x^2}=\frac{2(x^2-80^2)}{x^2}$
$P^{\prime }(x)=\frac{2(x-80)(x+80)}{x^2}$

Ici, $x>0$ donc $x+80>0$ et $x^2>0$, donc $g^{\prime }(x)$ est du signe de $(x-80)$

Tu dois faire le tableau de variation de la fonction P sur $]0,120]$ et trouver que le minimum de P est pour $x=80$ (c'est à dire pour une vitesse moyenne de 80 km/h)

Bon travail et tiens nous au courant si besoin.

[mtschoon]

@Noemi a dit dans Mathématiques fonction inverse :

@megane Bonsoir,

1. La vitesse moyenne : $v=\frac{d}{t}$ donc $t=....$

2. $P(v)=C(v)\times t$

Noemi, il faut compléter la formule de $P(v)$ avec 1.5

Je viens de voir que Noemi a maintenant complété sa formule, donc tout est OK.