Dm variable aléatoire

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@mireille-b Bonsoir,

Le scan de l'énoncé de l'exercice est interdit sur ce forum. Seuls les graphiques, schémas ou figures sont autorisés.
Ecris l'énoncé, le principe du jeu et les questions, et indique tes éléments de réponse. Tu obtiendras alors des pistes pour résoudre le problème.

Le scan va être supprimé.

@Noemi ok je l'enlève

@mireille-b

Je te demandais juste d'écrire la partie de l'énoncé nécessaire à la résolution de l'exercice.
Au début, tu dois calculer la probabilité pour chacune des couleurs.

@Noemi Alors pour l'énoncé:

On propose aux participants d'un stand de gagner 20% de leur bénéfice. Un organisateur imagine le jeu suivant afin de gagner 100 euros: Un joueur met une mise de départ pour participer au jeu. Il lance un dé cubique. S'il obtient 1 ou 2 il peut piocher dans une urne A qui contient 2 boules rouges, 1 boule blanche et 2 boules noires. Si il obtient 3 ou 4 il peut piocher dans une urne B qui contient 3 boules noires et 2 boules rouges. Enfin si il obtient 5 ou 6 il peut piocher dans une urne C contenant 3 boules rouges, 1 boule noire et une boule blanche.
Si la boule tirée est blanche, le joueur gagne 20 euros, si elle est noire on lui rend 2 euros sinon il perd sa mise.

L'organisateur veut calculer la mise minimal à fixer pour espérer gagner de l'argent. Quel calcul va t-il faire? Quel résultat va t-il obtenir?
L'organisateur se dit qu'il ne peut pas fixer la mise à 5euros sinon personne ne voudra jouer mais son amie lui dit qu'avec une mise de 5euros il y aura assez de joueurs pour gagner 100euros.
A combien peut-on estimer le nombre de joeur qui devront participer au jeu pour que son amie ait raison?

@Noemi D'accord donc j'ai additionné la probabilité pour chaque d'être tirée dans chacune des 3 trois urnes. Je l'ai multipliée par 1/36 (probabilité de 1ou2; 3ou4...) et j'ai fait une loi de X en remplaçant dans un tableau la couleur des boules par leur gain. P(perdre 20 euros pour l'organisateur) = 2/180 ; P(perdre 2 euros)= 6/180 et P(remporter la mise)= 7/180.
Je pense qu'il faut du coup calculer l'espérance mais je ne sais pas comment fait vu qu'il y a une inconnue (la somme misée)

@mireille-b

Vérifie et indique tes calculs.
La probabilité d'obtenir 1 est $16\dfrac{1}{6}$ donc la probabilité d'obtenir 1 ou 2 est $26=....\dfrac{2}{6} =....$
Il faut additionner pour chaque couleur les probabilités des trois urnes.
Calcule l'espérance en prenant comme inconnue la somme misée et tu calcules pour quelle somme misée cette espérance est positive.

Bonjour,

Comme souvent dans ce genre de problème, il y a un ou l'autre point pas clair ... ou sujet à interprétation.

L'énoncé dit "Si la boule tirée est blanche, le joueur gagne 20 euros, si elle est noire on lui rend 2 euros sinon il perd sa mise."

Donc on commence par mettre une mise M ...

et puis on joue ...

Si le résutat est une boule rouge, le joueur ne reçoit rien (donc il a dépensé M )

Si le résutat est une boule noire, on rend 2 euros au joueur (donc il a dépensé M - 2)

Si le résultat est une boule blanche, le joueur gagne 20 euros ...

C'est ici qu'il faut intérpréter :

a) Le joueur reçoit-il en fin de jeu 20 euros "secs", et il a donc gagné en réalité (20 - M)
b) Le joueur reçoit-il en fin de jeu 20 euros + sa mise intiale (M), qui se solde alors vraiment par un gain de 20 euros.

Perso je le comprends comme le point b ci dessus, mais est-ce bien cette façon de voir que l'auteur de la question a ?

Bonjour,

@mireille-b

Je ne sais pas si tu l'as fait, mais je te conseille , avant de parler de gain, de faire un arbre pondéré traduisant l'expérience aléatoire.

Je t'en joins un, au besoin.
J'espère que tu comprendras les notations, sinon demande.
J'ai mis des valeurs décimales (au lieu de fractionnaires) car plus commode sur l'arbre, mais les valeurs fractionnaires vont très bien

Conséquences avec l'arbre :
La probabilité de tirer une boule rouge est
$p(R)=13(0.4)+13(0.4)+13(0.6)p(R)=\dfrac{1}{3}(0.4)+\dfrac{1}{3}(0.4)+\dfrac{1}{3}(0.6)$

c'est-à-dire

$p(R)=13(25)+13(25)p(R)=\dfrac{1}{3}(\dfrac{2}{5})+\dfrac{1}{3}(\dfrac{2}{5})$ + $13(35)\dfrac{1}{3}(\dfrac{3}{5})$

$p(R)=715p(R)=\dfrac{7}{15}$

De même, tu dois trouver
$p(B)=215p(B)=\dfrac{2}{15}$

$p(N)=615p(N)=\dfrac{6}{15}$

Vérifie tout ça.

Demande, si besoin.

@mireille-b ,

Pour la question 1), évidemment, il y a diverses interprétations !

Vu que l'énoncé s'exprime différemment lorsque la boule tirée est blanche et lorsque la boule tirée est noire, il faut en tenir compte.
Cela rejoint la proposition b) précédente

Si c'est la bonne interprétation :

Soit M la mise.
Soit X le gain algébrique de l'organisateur, en euros

Lorsque la boule tirée est blanche , X=-20, vu que le joueur gagne 20 € ( c'est à dire -M +20+M)
Probabilité $215\dfrac{2}{15}$

Lorsque la boule tirée est noire , X=M-2, vu que l'on rend 2€ au joueur)
Probabilité $615\dfrac{6}{15}$

Lorsque la boule tirée est rouge , X=M, vu que le joueur perd sa mise
Probabilité $715\dfrac{7}{15}$

Tu peux disposer cela sous forme de tableau, calculer l'espérance $E (X)$ et trouver M telle que $E(X)>0E(X)\gt 0$

Reposte si besoin.