Probabilité et variable aléatoire
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Ggalois dernière édition par
Deux joueurs A et B jouent à fléchettes
La probabilité que A atteigne la cible est 2/3 et celle de B est 1/2.
On effectue des épreuves : le joueur qui atteint la cible continue à jouer et s'il echoue s' elimine et le jeu s' arrête lorsque les deux joueurs s'eliminent.
On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le numéro de l'épreuve correspondant à la première élimination.
Question:
Montrer que pour tout entier naturel non nul n ona:
n.p(X supérieur stick à n) +somme p(X=k) k allant de 1 à n = somme p(X supérieur strict à k) k allant de 0 à n-1.code_text
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Ggalois dernière édition par
@galois a dit dans Probabilité et variable
aléatoire :Deux joueurs A et B jouent à fléchettes
La probabilité que A atteigne la cible est 2/3 et celle de B est 1/2.
On effectue des épreuves : le joueur qui atteint la cible continue à jouer et s'il echoue s' elimine et le jeu s' arrête lorsque les deux joueurs s'eliminent.
On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le numéro de l'épreuve correspondant à la première élimination.
Question:
Montrer que pour tout entier naturel non nul n ona:
n.p(X supérieur stick à n) +somme p(X=k) k allant de 1 à n = somme p(X supérieur strict à k) k allant de 0 à n-1.
et merci vivement
code_text
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@galois Bonjour,
L'énoncé est-il complet ?
Pas de questions avant celle indiquée?
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Ggalois dernière édition par
@galois a dit dans Probabilité et variable aléatoire :
@galois a dit dans Probabilité et variable
aléatoire :
Bonjour je n'arrive pas à répondre à cette question:Deux joueurs A et B jouent à fléchettes
La probabilité que A atteigne la cible est 2/3 et celle de B est 1/2.
On effectue des épreuves : le joueur qui atteint la cible continue à jouer et s'il echoue s' elimine et le jeu s' arrête lorsque les deux joueurs s'eliminent.
On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le numéro de l'épreuve correspondant à la première élimination.
Question:
Montrer que pour tout entier naturel non nul n ona:
n.p(X supérieur stick à n) +somme p(X=k) k allant de 1 à n = somme p(X supérieur strict à k) k allant de 0 à n-1.
et merci vivement
code_textIl y a deux questions que j'ai répondues et je pense non rien avoir avec cette question et les voilà
- calculer p(X=1)
*montrer que p(Xsup strict à n)=(1/3)^n
*Mque p(X supérieur strict à n-1)=p(X=n)+p(X supérieur strict à n)
*calculer alors p(X=n)
- calculer p(X=1)
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Tu dois prendre en compte les résultats obtenus aux questions précédentes pour répondre à la dernière question.
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Ggalois dernière édition par
@Noemi j'ai assaye mais j'ai pas trouvé de relation
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Bonjour,
@galois , je te suggère une démonstration par récurrence pour ta dernière question.
Je vais regarder de près et te donnerai des indications.
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Re-bonjour, galois,
Une remarque :
Tes formules sont difficiles à lire et ne font pas envie...
Si un jour tu as le temps, tu peux essayer le Latex..
Je te mets un lien
https://forum.mathforu.com/topic/163/comment-écrire-les-principales-expressions-mathématiques-work-in-progressAvant de voir la récurrence pour ta dernière question, je fais la synthèse des questions précédentes pour pouvoir s'y retrouver, car ce n'est pas clair.
1 ) P(X=1)=23P(X=1)=\dfrac{2}{3}P(X=1)=32
2 ) P(X>n)=(13)nP(X\gt n)=(\dfrac{1}{3})^nP(X>n)=(31)n
3 ) P(X>n−1)=P(X=n)+P(X>n)P(X\gt n-1)=P(X=n)+P(X\gt n)P(X>n−1)=P(X=n)+P(X>n)
4 ) P(X=n)=(13)n−1−(13)nP(X=n)=(\dfrac{1}{3})^{n-1}-(\dfrac{1}{3})^nP(X=n)=(31)n−1−(31)nJe pense que tu as déjà répondu à toutes ces questions.
Certaines de ces premières questions serviront d'outils pour la récurrence.
Cela est normal, pour tout exercice bien pensé.
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5 ) Démontrer que pour tout n de N*
nP(X>n)+∑k=1nP(X=k)=∑k=0n−1(P(X>k)\displaystyle nP(X\gt n)+\sum_{k=1}^ n P(X=k)=\sum_{k=0}^{n-1}(P(X\gt k)nP(X>n)+k=1∑nP(X=k)=k=0∑n−1(P(X>k)Comme pour la démonstration il est commode de partir du membre de droite, j'alterne les deux membres
C'est à dire démontrer :
∑k=0n−1(P(X>k)=nP(X>n)+∑k=1nP(X=k)\boxed{\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}(P(X\gt k)=nP(X\gt n)+\sum_{k=1}^ n P(X=k)}k=0∑n−1(P(X>k)=nP(X>n)+k=1∑nP(X=k)Initialisation pour n=1
Tu dois justifier que : P(X>0)=P(X>1)+p(X=1)P(X\gt 0)=P(X\gt 1)+p(X=1)P(X>0)=P(X>1)+p(X=1)
(Tu n'as rien à calculer : il s'agit de le formule de la question 3 ) appliquée à n=1)Transmission ( ou hérédité ) Utilise le terme de ton cours.
Hypothèse à un ordre n de N* :
∑k=0n−1(P(X>k)=nP(X>n)+∑k=1nP(X=k)\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}(P(X\gt k)=nP(X\gt n)+\sum_{k=1}^ n P(X=k)k=0∑n−1(P(X>k)=nP(X>n)+k=1∑nP(X=k)Conclusion à démontrer à l'ordre (n+1) :
∑k=0n(P(X>k)=(n+1)P(X>n+1)+∑k=1n+1P(X=k)\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(P(X\gt k)=(n+1)P(X\gt n+1)+\sum_{k=1}^ {n +1}P(X=k)k=0∑n(P(X>k)=(n+1)P(X>n+1)+k=1∑n+1P(X=k)Pistes de la DEMONSTRATION
En décomposant la somme en deux parties, tu obtiens :
∑k=0n(P(X>k)=∑k=0n−1(P(X>k)+P(X>n)\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(P(X\gt k)= \sum_{k=0}^{n-1}(P(X\gt k)+P(X\gt n)k=0∑n(P(X>k)=k=0∑n−1(P(X>k)+P(X>n)En utilisant l'hypothèse de la récurrence , tu obtiens :
∑k=0nP(X>k)=nP(X>n)+∑k=1nP(X=k)+P(X>n)\displaystyle \sum_{k=0}^{n}P(X\gt k)=nP(X\gt n)+\sum_{k=1}^ n P(X=k) +P(X\gt n)k=0∑nP(X>k)=nP(X>n)+k=1∑nP(X=k)+P(X>n)
En regroupant le premier et le troisième terme , tu obtiens :
∑k=0nP(X>k)=(n+1)P(X>n)+∑k=1nP(X=k)\displaystyle \sum_{k=0}^{n}P(X\gt k)=(n+1)P(X\gt n)+\sum_{k=1}^ n P(X=k) k=0∑nP(X>k)=(n+1)P(X>n)+k=1∑nP(X=k)En utilisant la formule de la question 3) à l'ordre n, tu obtiens :
∑k=0nP(X>k)=(n+1)[P(X=n+1)+P(X>n+1)]+∑k=1nP(X=k)\displaystyle \sum_{k=0}^{n}P(X\gt k)=(n+1)[P(X=n+1)+P(X\gt n+1)]+\sum_{k=1}^ n P(X=k) k=0∑nP(X>k)=(n+1)[P(X=n+1)+P(X>n+1)]+k=1∑nP(X=k)En développant, tu obtiens :
∑k=0nP(X>k)=(n+1)P(X=n+1)+(n+1)P(X>n+1)+∑k=1nP(X=k)\displaystyle \sum_{k=0}^{n}P(X\gt k)=(n+1)P(X=n+1)+(n+1)P(X\gt n+1)+\sum_{k=1}^ n P(X=k) k=0∑nP(X>k)=(n+1)P(X=n+1)+(n+1)P(X>n+1)+k=1∑nP(X=k)Problème pour conclure
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Ggalois dernière édition par
@mtschoon merci vivement
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@galois , de rien !
Ton exercice était assez "original" et on pouvait s'y perdre...
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Ggalois dernière édition par
@mtschoon salut
J'ai refait l'exercice mais j'ai remarqué que dans votre raisonnement le facteur (n+1) à la fin comment on l'a intégré dans la somme
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@galois , bonjour,
∑k=1nP(X=k)+P(X=n+1)=∑k=1n+1P(X=k)\displaystyle{\sum_{k=1}^n P(X=k)+P(X=n+1)=\sum_{k=1}^{n+1} P(X=k)}k=1∑nP(X=k)+P(X=n+1)=k=1∑n+1P(X=k)
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Ggalois dernière édition par
@mtschoon salut
On a la somme + (n+1)p(X=n+1) et non pas la somme + p(X=n+1)
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@galois , re-bonjour,
Je n'avais pas compris de quoi tu parlais dans ta dernière question.Je regarde.
Effectivement,il y a un problème de (n+1) en facteur pour conclure. (Je viens de l'indiquer)
Par contre, j'ai beau relire le calcul, je ne vois pas d'erreur...
Vérifie encore.Y a-t-il une anomalie dans la formule de l'énoncé (qui était difficile à lire) ?
Essaie de t'informer
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Ggalois dernière édition par
@mtschoon OK merci vivement