Probabilité et variable aléatoire


  • G

    Deux joueurs A et B jouent à fléchettes
    La probabilité que A atteigne la cible est 2/3 et celle de B est 1/2.
    On effectue des épreuves : le joueur qui atteint la cible continue à jouer et s'il echoue s' elimine et le jeu s' arrête lorsque les deux joueurs s'eliminent.
    On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le numéro de l'épreuve correspondant à la première élimination.
    Question:
    Montrer que pour tout entier naturel non nul n ona:
    n.p(X supérieur stick à n) +somme p(X=k) k allant de 1 à n = somme p(X supérieur strict à k) k allant de 0 à n-1.

    code_text


  • G

    @galois a dit dans Probabilité et variable
    aléatoire
    :

    Deux joueurs A et B jouent à fléchettes
    La probabilité que A atteigne la cible est 2/3 et celle de B est 1/2.
    On effectue des épreuves : le joueur qui atteint la cible continue à jouer et s'il echoue s' elimine et le jeu s' arrête lorsque les deux joueurs s'eliminent.
    On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le numéro de l'épreuve correspondant à la première élimination.
    Question:
    Montrer que pour tout entier naturel non nul n ona:
    n.p(X supérieur stick à n) +somme p(X=k) k allant de 1 à n = somme p(X supérieur strict à k) k allant de 0 à n-1.
    et merci vivement
    code_text


  • N
    Modérateurs

    @galois Bonjour,

    L'énoncé est-il complet ?
    Pas de questions avant celle indiquée?


  • G

    @galois a dit dans Probabilité et variable aléatoire :

    @galois a dit dans Probabilité et variable
    aléatoire
    :
    Bonjour je n'arrive pas à répondre à cette question:

    Deux joueurs A et B jouent à fléchettes
    La probabilité que A atteigne la cible est 2/3 et celle de B est 1/2.
    On effectue des épreuves : le joueur qui atteint la cible continue à jouer et s'il echoue s' elimine et le jeu s' arrête lorsque les deux joueurs s'eliminent.
    On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le numéro de l'épreuve correspondant à la première élimination.
    Question:
    Montrer que pour tout entier naturel non nul n ona:
    n.p(X supérieur stick à n) +somme p(X=k) k allant de 1 à n = somme p(X supérieur strict à k) k allant de 0 à n-1.
    et merci vivement
    code_text

    Il y a deux questions que j'ai répondues et je pense non rien avoir avec cette question et les voilà

    • calculer p(X=1)
      *montrer que p(Xsup strict à n)=(1/3)^n
      *Mque p(X supérieur strict à n-1)=p(X=n)+p(X supérieur strict à n)
      *calculer alors p(X=n)

  • N
    Modérateurs

    @galois

    Tu dois prendre en compte les résultats obtenus aux questions précédentes pour répondre à la dernière question.


  • G

    @Noemi j'ai assaye mais j'ai pas trouvé de relation


  • mtschoon

    Bonjour,

    @galois , je te suggère une démonstration par récurrence pour ta dernière question.
    Je vais regarder de près et te donnerai des indications.


  • mtschoon

    Re-bonjour, galois,

    Une remarque :
    Tes formules sont difficiles à lire et ne font pas envie...
    Si un jour tu as le temps, tu peux essayer le Latex..
    Je te mets un lien
    https://forum.mathforu.com/topic/163/comment-écrire-les-principales-expressions-mathématiques-work-in-progress

    Avant de voir la récurrence pour ta dernière question, je fais la synthèse des questions précédentes pour pouvoir s'y retrouver, car ce n'est pas clair.
    1 ) P(X=1)=23P(X=1)=\dfrac{2}{3}P(X=1)=32
    2 ) P(X>n)=(13)nP(X\gt n)=(\dfrac{1}{3})^nP(X>n)=(31)n
    3 ) P(X>n−1)=P(X=n)+P(X>n)P(X\gt n-1)=P(X=n)+P(X\gt n)P(X>n1)=P(X=n)+P(X>n)
    4 ) P(X=n)=(13)n−1−(13)nP(X=n)=(\dfrac{1}{3})^{n-1}-(\dfrac{1}{3})^nP(X=n)=(31)n1(31)n

    Je pense que tu as déjà répondu à toutes ces questions.

    Certaines de ces premières questions serviront d'outils pour la récurrence.
    Cela est normal, pour tout exercice bien pensé.


  • mtschoon

    5 ) Démontrer que pour tout n de N*
    nP(X>n)+∑k=1nP(X=k)=∑k=0n−1(P(X>k)\displaystyle nP(X\gt n)+\sum_{k=1}^ n P(X=k)=\sum_{k=0}^{n-1}(P(X\gt k)nP(X>n)+k=1nP(X=k)=k=0n1(P(X>k)

    Comme pour la démonstration il est commode de partir du membre de droite, j'alterne les deux membres

    C'est à dire démontrer :
    ∑k=0n−1(P(X>k)=nP(X>n)+∑k=1nP(X=k)\boxed{\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}(P(X\gt k)=nP(X\gt n)+\sum_{k=1}^ n P(X=k)}k=0n1(P(X>k)=nP(X>n)+k=1nP(X=k)

    Initialisation pour n=1
    Tu dois justifier que : P(X>0)=P(X>1)+p(X=1)P(X\gt 0)=P(X\gt 1)+p(X=1)P(X>0)=P(X>1)+p(X=1)
    (Tu n'as rien à calculer : il s'agit de le formule de la question 3 ) appliquée à n=1)

    Transmission ( ou hérédité ) Utilise le terme de ton cours.

    Hypothèse à un ordre n de N* :
    ∑k=0n−1(P(X>k)=nP(X>n)+∑k=1nP(X=k)\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}(P(X\gt k)=nP(X\gt n)+\sum_{k=1}^ n P(X=k)k=0n1(P(X>k)=nP(X>n)+k=1nP(X=k)

    Conclusion à démontrer à l'ordre (n+1) :
    ∑k=0n(P(X>k)=(n+1)P(X>n+1)+∑k=1n+1P(X=k)\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(P(X\gt k)=(n+1)P(X\gt n+1)+\sum_{k=1}^ {n +1}P(X=k)k=0n(P(X>k)=(n+1)P(X>n+1)+k=1n+1P(X=k)

    Pistes de la DEMONSTRATION

    En décomposant la somme en deux parties, tu obtiens :
    ∑k=0n(P(X>k)=∑k=0n−1(P(X>k)+P(X>n)\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(P(X\gt k)= \sum_{k=0}^{n-1}(P(X\gt k)+P(X\gt n)k=0n(P(X>k)=k=0n1(P(X>k)+P(X>n)

    En utilisant l'hypothèse de la récurrence , tu obtiens :

    ∑k=0nP(X>k)=nP(X>n)+∑k=1nP(X=k)+P(X>n)\displaystyle \sum_{k=0}^{n}P(X\gt k)=nP(X\gt n)+\sum_{k=1}^ n P(X=k) +P(X\gt n)k=0nP(X>k)=nP(X>n)+k=1nP(X=k)+P(X>n)
    En regroupant le premier et le troisième terme , tu obtiens :
    ∑k=0nP(X>k)=(n+1)P(X>n)+∑k=1nP(X=k)\displaystyle \sum_{k=0}^{n}P(X\gt k)=(n+1)P(X\gt n)+\sum_{k=1}^ n P(X=k) k=0nP(X>k)=(n+1)P(X>n)+k=1nP(X=k)

    En utilisant la formule de la question 3) à l'ordre n, tu obtiens :
    ∑k=0nP(X>k)=(n+1)[P(X=n+1)+P(X>n+1)]+∑k=1nP(X=k)\displaystyle \sum_{k=0}^{n}P(X\gt k)=(n+1)[P(X=n+1)+P(X\gt n+1)]+\sum_{k=1}^ n P(X=k) k=0nP(X>k)=(n+1)[P(X=n+1)+P(X>n+1)]+k=1nP(X=k)

    En développant, tu obtiens :
    ∑k=0nP(X>k)=(n+1)P(X=n+1)+(n+1)P(X>n+1)+∑k=1nP(X=k)\displaystyle \sum_{k=0}^{n}P(X\gt k)=(n+1)P(X=n+1)+(n+1)P(X\gt n+1)+\sum_{k=1}^ n P(X=k) k=0nP(X>k)=(n+1)P(X=n+1)+(n+1)P(X>n+1)+k=1nP(X=k)

    Problème pour conclure


  • G

    @mtschoon merci vivement


  • mtschoon

    @galois , de rien !
    Ton exercice était assez "original" et on pouvait s'y perdre...


  • G

    @mtschoon salut
    J'ai refait l'exercice mais j'ai remarqué que dans votre raisonnement le facteur (n+1) à la fin comment on l'a intégré dans la somme


  • mtschoon

    @galois , bonjour,

    ∑k=1nP(X=k)+P(X=n+1)=∑k=1n+1P(X=k)\displaystyle{\sum_{k=1}^n P(X=k)+P(X=n+1)=\sum_{k=1}^{n+1} P(X=k)}k=1nP(X=k)+P(X=n+1)=k=1n+1P(X=k)


  • G

    @mtschoon salut
    On a la somme + (n+1)p(X=n+1) et non pas la somme + p(X=n+1)


  • mtschoon

    @galois , re-bonjour,
    Je n'avais pas compris de quoi tu parlais dans ta dernière question.

    Je regarde.

    Effectivement,il y a un problème de (n+1) en facteur pour conclure. (Je viens de l'indiquer)

    Par contre, j'ai beau relire le calcul, je ne vois pas d'erreur...
    Vérifie encore.

    Y a-t-il une anomalie dans la formule de l'énoncé (qui était difficile à lire) ?

    Essaie de t'informer


  • G

    @mtschoon OK merci vivement


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