Probabilité et variable aléatoire

Deux joueurs A et B jouent à fléchettes
La probabilité que A atteigne la cible est 2/3 et celle de B est 1/2.
On effectue des épreuves : le joueur qui atteint la cible continue à jouer et s'il echoue s' elimine et le jeu s' arrête lorsque les deux joueurs s'eliminent.
On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le numéro de l'épreuve correspondant à la première élimination.
Question:
Montrer que pour tout entier naturel non nul n ona:
n.p(X supérieur stick à n) +somme p(X=k) k allant de 1 à n = somme p(X supérieur strict à k) k allant de 0 à n-1.

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@galois a dit dans Probabilité et variable
aléatoire :

Deux joueurs A et B jouent à fléchettes
La probabilité que A atteigne la cible est 2/3 et celle de B est 1/2.
On effectue des épreuves : le joueur qui atteint la cible continue à jouer et s'il echoue s' elimine et le jeu s' arrête lorsque les deux joueurs s'eliminent.
On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le numéro de l'épreuve correspondant à la première élimination.
Question:
Montrer que pour tout entier naturel non nul n ona:
n.p(X supérieur stick à n) +somme p(X=k) k allant de 1 à n = somme p(X supérieur strict à k) k allant de 0 à n-1.
et merci vivement
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@galois Bonjour,

L'énoncé est-il complet ?
Pas de questions avant celle indiquée?

@galois a dit dans Probabilité et variable aléatoire :

@galois a dit dans Probabilité et variable
aléatoire :
Bonjour je n'arrive pas à répondre à cette question:

Deux joueurs A et B jouent à fléchettes
La probabilité que A atteigne la cible est 2/3 et celle de B est 1/2.
On effectue des épreuves : le joueur qui atteint la cible continue à jouer et s'il echoue s' elimine et le jeu s' arrête lorsque les deux joueurs s'eliminent.
On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le numéro de l'épreuve correspondant à la première élimination.
Question:
Montrer que pour tout entier naturel non nul n ona:
n.p(X supérieur stick à n) +somme p(X=k) k allant de 1 à n = somme p(X supérieur strict à k) k allant de 0 à n-1.
et merci vivement
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Il y a deux questions que j'ai répondues et je pense non rien avoir avec cette question et les voilà

calculer p(X=1)
*montrer que p(Xsup strict à n)=(1/3)^n
*Mque p(X supérieur strict à n-1)=p(X=n)+p(X supérieur strict à n)
*calculer alors p(X=n)

@galois

Tu dois prendre en compte les résultats obtenus aux questions précédentes pour répondre à la dernière question.

@Noemi j'ai assaye mais j'ai pas trouvé de relation

Bonjour,

@galois , je te suggère une démonstration par récurrence pour ta dernière question.
Je vais regarder de près et te donnerai des indications.

Re-bonjour, galois,

Une remarque :
Tes formules sont difficiles à lire et ne font pas envie...
Si un jour tu as le temps, tu peux essayer le Latex..
Je te mets un lien
https://forum.mathforu.com/topic/163/comment-écrire-les-principales-expressions-mathématiques-work-in-progress

Avant de voir la récurrence pour ta dernière question, je fais la synthèse des questions précédentes pour pouvoir s'y retrouver, car ce n'est pas clair.
1 ) $P(X=1)=23P(X=1)=\dfrac{2}{3}$
2 ) $P(X>n)=(13)nP(X\gt n)=(\dfrac{1}{3})^n$
3 ) $P(X>n−1)=P(X=n)+P(X>n)P(X\gt n-1)=P(X=n)+P(X\gt n)$
4 ) $P(X=n)=(13)n−1−(13)nP(X=n)=(\dfrac{1}{3})^{n-1}-(\dfrac{1}{3})^n$

Je pense que tu as déjà répondu à toutes ces questions.

Certaines de ces premières questions serviront d'outils pour la récurrence.
Cela est normal, pour tout exercice bien pensé.

5 ) Démontrer que pour tout n de N*
$nP(X>n)+∑k=1nP(X=k)=∑k=0n−1(P(X>k)\displaystyle nP(X\gt n)+\sum_{k=1}^ n P(X=k)=\sum_{k=0}^{n-1}(P(X\gt k)$

Comme pour la démonstration il est commode de partir du membre de droite, j'alterne les deux membres

C'est à dire démontrer :
$∑k=0n−1(P(X>k)=nP(X>n)+∑k=1nP(X=k)\boxed{\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}(P(X\gt k)=nP(X\gt n)+\sum_{k=1}^ n P(X=k)}$

Initialisation pour n=1
Tu dois justifier que : $P(X>0)=P(X>1)+p(X=1)P(X\gt 0)=P(X\gt 1)+p(X=1)$
(Tu n'as rien à calculer : il s'agit de le formule de la question 3 ) appliquée à n=1)

Transmission ( ou hérédité ) Utilise le terme de ton cours.

Hypothèse à un ordre n de N* :
$∑k=0n−1(P(X>k)=nP(X>n)+∑k=1nP(X=k)\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}(P(X\gt k)=nP(X\gt n)+\sum_{k=1}^ n P(X=k)$

Conclusion à démontrer à l'ordre (n+1) :
$∑k=0n(P(X>k)=(n+1)P(X>n+1)+∑k=1n+1P(X=k)\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(P(X\gt k)=(n+1)P(X\gt n+1)+\sum_{k=1}^ {n +1}P(X=k)$

Pistes de la DEMONSTRATION

En décomposant la somme en deux parties, tu obtiens :
$∑k=0n(P(X>k)=∑k=0n−1(P(X>k)+P(X>n)\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(P(X\gt k)= \sum_{k=0}^{n-1}(P(X\gt k)+P(X\gt n)$

En utilisant l'hypothèse de la récurrence , tu obtiens :

$∑k=0nP(X>k)=nP(X>n)+∑k=1nP(X=k)+P(X>n)\displaystyle \sum_{k=0}^{n}P(X\gt k)=nP(X\gt n)+\sum_{k=1}^ n P(X=k) +P(X\gt n)$
En regroupant le premier et le troisième terme , tu obtiens :
$∑k=0nP(X>k)=(n+1)P(X>n)+∑k=1nP(X=k)\displaystyle \sum_{k=0}^{n}P(X\gt k)=(n+1)P(X\gt n)+\sum_{k=1}^ n P(X=k)$

En utilisant la formule de la question 3) à l'ordre n, tu obtiens :
$∑k=0nP(X>k)=(n+1)[P(X=n+1)+P(X>n+1)]+∑k=1nP(X=k)\displaystyle \sum_{k=0}^{n}P(X\gt k)=(n+1)[P(X=n+1)+P(X\gt n+1)]+\sum_{k=1}^ n P(X=k)$

En développant, tu obtiens :
$∑k=0nP(X>k)=(n+1)P(X=n+1)+(n+1)P(X>n+1)+∑k=1nP(X=k)\displaystyle \sum_{k=0}^{n}P(X\gt k)=(n+1)P(X=n+1)+(n+1)P(X\gt n+1)+\sum_{k=1}^ n P(X=k)$

Problème pour conclure

@mtschoon merci vivement

@galois , de rien !
Ton exercice était assez "original" et on pouvait s'y perdre...

@mtschoon salut
J'ai refait l'exercice mais j'ai remarqué que dans votre raisonnement le facteur (n+1) à la fin comment on l'a intégré dans la somme

@galois , bonjour,

$∑k=1nP(X=k)+P(X=n+1)=∑k=1n+1P(X=k)\displaystyle{\sum_{k=1}^n P(X=k)+P(X=n+1)=\sum_{k=1}^{n+1} P(X=k)}$

@mtschoon salut
On a la somme + (n+1)p(X=n+1) et non pas la somme + p(X=n+1)

@galois , re-bonjour,
Je n'avais pas compris de quoi tu parlais dans ta dernière question.

Je regarde.

Effectivement,il y a un problème de (n+1) en facteur pour conclure. (Je viens de l'indiquer)

Par contre, j'ai beau relire le calcul, je ne vois pas d'erreur...
Vérifie encore.

Y a-t-il une anomalie dans la formule de l'énoncé (qui était difficile à lire) ?

Essaie de t'informer

@mtschoon OK merci vivement