Pouvez-vous m'aidez à résoudre cet fonctions rationnel SVP


  • Joyca Le Boss

    Bonjour, Pouvez-vous m'aidez à résoudre cet fonctions rationnel ? SVP

    Pour chacune des fonctions rationnelles suivantes, précise si elle possède une AH ou une AO.
    Détermine algébriquement son équation.
    Détermine la position de la fonction par rapport à l’asymptote
    2021-05-14 (2).png

    Mon idée de résolution (à corriger si besoin svp)
    Je pense qu'il y a une AH car quand la plus haute puissance (PHP) du dénominateur est plus élevés que celle du numérateur ,la limite tend vers 0 ,donc il y a une AH seulement en 0.

    Pour qu'il y est une AO ,il faut que l'écart des PHP soit de 1, ces le cas , ensuite pour Détermine algébriquement son équation, il faut appliquer la division Euclidienne mais comment faire si le dénominateur à un exposant de 3 et le numérateur de 2?
    Il y a un problème non ? Pouvez m'ouvrir la voie ou me donner la solution, la plus détaillé possible, Merci à ceux qui prendrons la peine de m'aider !


  • mtschoon

    @Joyca-Le-Boss , bonjour,

    Je reste perplexe sur ta question.

    S'il s'agit de déterminer l'asymptote oblique ou horizontale en ±∞\pm \infty±, tu peux utiliser les termes de plus fort degré .

    lim⁡x→±∞h(x)=lim⁡x→±∞3x22x3=lim⁡x→±∞32x=0\displaystyle{\lim_{x\to \pm \infty}h(x)=\lim_{x\to \pm \infty}\dfrac{3x^2}{2x^3}}=\lim_{x\to \pm \infty}\dfrac{3}{2x}=0x±limh(x)=x±lim2x33x2=x±lim2x3=0

    L'asymptote horizontale a pour équation y=0y=0y=0 : c'est l'axe des abscisses.

    Trouver la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses revient à trouver le signe de h(x).

    Ici, ce n'est pas simple car le dénominateur est du 3ème degré.
    Il ne se factorise pas simplement et s'annule pour une valeur réelle très peu simple (que l'on ne peut trouver qu'avec une résolution hors programme en Terminale..., tu peux bien sûr prouver l'exixtence de cette valeur et en trouver une valeur approchée, mais je ne pense pas que ce soit le but de l'exercice)


  • B

    @Joyca-Le-Boss a dit dans Pouvez-vous m'aidez à résoudre cet fonctions rationnel SVP :

    Bonjour, Pouvez-vous m'aidez à résoudre cet fonctions rationnel ? SVP

    Pour chacune des fonctions rationnelles suivantes, précise si elle possède une AH ou une AO.
    Détermine algébriquement son équation.
    Détermine la position de la fonction par rapport à l’asymptote
    2021-05-14 (2).png

    Mon idée de résolution (à corriger si besoin svp)
    Je pense qu'il y a une AH car quand la plus haute puissance (PHP) du dénominateur est plus élevés que celle du numérateur ,la limite tend vers 0 ,donc il y a une AH seulement en 0.

    Pour qu'il y est une AO ,il faut que l'écart des PHP soit de 1, ces le cas , ensuite pour Détermine algébriquement son équation, il faut appliquer la division Euclidienne mais comment faire si le dénominateur à un exposant de 3 et le numérateur de 2?
    Il y a un problème non ? Pouvez m'ouvrir la voie ou me donner la solution, la plus détaillé possible
    , Merci à ceux qui prendrons la peine de m'aider !

    Bonjour ...

    Une condition nécessaire mais pas suffisante pour avoir une AO est que la limite de f(x) pour x--> -oo (ou + oo) soit infinie (+ ou - oo)

    Ici, on a lim(x--> +/- oo) f(x) = 0 (pas infini ---> pas d'AO)

    Dans les cas où on a bien lim(x--> - oo) f(x) = 0 ou bien lim(x--> + oo) f(x) = 0 ... alors il est possible qu'il y ait une AO, pour que ce soit le cas, il faut en effet que le degré du NUMERATEUR soit de 1 au dessus du degré du DENOMINATEUR ...

    Remarque :
    On ne peut pas avoir simultanément une asymptote horizontale et une asymptote oblique d'un "même coté" (soit en -oo, soit en +oo)


  • mtschoon

    Bonjour,

    @Joyca-Le-Boss , comme déjà dit, pour trouver la position de la courbe (c'est à dire "toute la courbe"), par rapport à l'asymptote horizontale qui est ici l'axe des abscisses, ce n'est pas simple (à toi voir).

    Par contre, tu peux rapidement donner la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses, seulement au voisinage de −∞-\infty et +∞+\infty+.

    Tu sais que dans ces deux voisinages, f(x)≈32xf(x)\approx\dfrac{3}{2x}f(x)2x3

    Au voisinage de −∞-\infty, f(x)<0f(x)\lt 0f(x)<0 donc Courbe en dessous de l'asymptôte d'équation y=0y=0y=0
    Au voisinage de +∞+\infty+, f(x)>0f(x)\gt 0f(x)>0 donc Courbe au dessus de l'asymptôte d'équation y=0y=0y=0


  • B

    Bonjour,

    Pour trouver la position de la courbe représentant h(x) par rapport à son asymptote ...

    Etant donné que l'asymptote est l'axe des abscisses, la position de la courbe représentant h(x) par rapport à son asymptote se trouve par la simple étude du signe de h(x) ...

    Pour ce faire :

    Etude de g(x) = 2x³-x^2+5x+1

    g'(x) = 6x² - 2x + 5
    Discriminant < 0 ---> g'(x) > 0 sur R ---> g est strictement croissante.
    g(-1) = -7 < 0 et g(0) = 1 > 0

    Par le théorème des valeurs intermédiaires, il vient :
    Il y a donc 1 et une seule valeur alpha de x pour laquelle g(x) = 0 et on sait que alpha est dans ]-1 ; 0[
    On peut donc approcher la valeur de alpha par approximations successives (par exemple méthode dichotomique) avec la précision qu'on veut (sauf valeur exacte)

    On trouve alpha = -0,19003...

    On a donc :

    g(x) < 0 pour x dans ]-oo ; alpha[
    g(x) = 0 pour x = alpha
    g(x) > 0 pour x dans ]alpha ; +oo[

    Et donc :

    h(x) a le signe contraire de (3x²+4x-2) pour x dans ]-oo ; alpha[
    h(x) n'existe pas pour x = alpha
    h(x) a le signe de (3x²+4x-2) pour x dans ]alpha ; +oo[

    (3x²+4x-2) = 0 pour x = (-2 +/- V10)/3

    Et donc :
    h(x) < 0 pour x dans ]-oo ; (-2 - V10)/3[ ---> la courbe représentant h(x) est en dessous de son asymptote
    h(x) = 0 pour x = (-2 - V10)/3, la courbe représentant h(x) coupe son asymptote
    h(x) > 0 pour x dans ](-2 - V10)/3 ; alpha[ ---> la courbe représentant h(x) est au dessus de son asymptote
    h(x) n'existe pas pour x = alpha
    h(x) < 0 pour x dans ]alpha; (-2 + V10)/3[ ---> la courbe représentant h(x) est en dessous de son asymptote
    h(x) = 0 pour x = (-2 + V10)/3, la courbe représentant h(x) coupe son asymptote
    h(x) > 0 pour x dans ](-2 + V10)/3 ; +oo[ ---> la courbe représentant h(x) est au dessus de son asymptote


  • mtschoon

    Bonsoir,

    Comme j'ai un "faible" pour les illustrations graphiques en voilà une .

    D=D=D=R / {α\alphaα}
    Courbe en rouge
    Asymptôte verticale (en tirés noirs) d'équation x=αx=\alphax=α
    Asymptôte horizontale (en bleu) d'équation y=0y=0y=0 (axe des abscisses)
    Asymp.jpg


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