problème mathématiques équations différentielles

Bonjour, je suis en terminale et ai un devoir à faire mais je n'arrive pas du tout à résoudre ce problème, pouvez vous m'aider svp ?

Dans une usine, la température d'un moteur thermique est régulée par un système de circulation d'eau de refroidissement. Quand la température de cette eau atteint 90°C, un ventilateur se met en action afin de refroidir le liquide dans le radiateur. Il s'arrête lorsque la température devient inférieure à 50°C.
On mesure l'instant t (en mn) à à partir du moment où le ventilateur se déclenche.
On admet que la température de l'eau, exprimée e degrés Celsius, est donnée à l'instant t par f(t) où la fonction f vérifie sur (0; + inf( l'équation différentielle (E): y' + 0,04y = k, avec f(0) = 90 et f(10) = 77,14.

A. Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales ci-dessus. (on arrondira toutes les constantes intervenant dans l'expression de f(x) à 2 décimales).

B. Le ventilateur va-t-il s'arrêter ?

Merci beaucoup !

@flora024 Bonjour,

Applique le cours :
La solution de l'équation différentielle sans second membre : $y^{'} + m y = 0$ avec $m$ une constante est de la forme $y= Ae^{-mt}$ avec $A$ une constante.
La solution particulière de l'équation différentielle avec second membre : $y^{'} + m y = k$ avec $k$ une constante. est : $\dfrac{k}{m}$
La solution générale de l'équation différentielle : $y + m y = k$ est de la forme :
$Ae^{-mt}+\dfrac{k}{m}$
Deux inconnues à déterminer : $A$ et $k$ .
Ecris un système partir de :
$f (0) = 90$ et
$f (10) = 77, 14$

Indique tes calculs et/ou résultats si tu souhaites une vérification.
La solution générale de

@flora024 a dit dans problème mathématiques équations différentielles :

y' + 0,04y = k

Bonjour,

Un léger soucis ...
Avec les données de l'énoncé, le ventilateur ne s'arrêtera jamais.

Bonjour,

Effectivement, le ventilateur ne s'arrêtera jamais...

Vu que la question est sur le mode interrogatif :
"B. Le ventilateur va-t-il s'arrêter ?" matématiquement, ce n'est pas un souci...

Queques compléments de calcul.

$y^{'} = a y + b$ , avec $a≠0a\ne 0$
En principe , suivant la spécialité, en Terminale on sait que:
$y=Ceat−bay=Ce^{at}-\dfrac{b}{a}$ , C constante réelle, d'où, vu que $y^{'} = - 0.04 y + k$ , après transformation :
$y=Ce^{-0.04t}+25k$

Avec les conditions, on doit résoudre le système :
${90=C+25k77.14=Ce−0.4+25k\begin{cases} 90=C+25k \cr 77.14=Ce^{-0.4}+25k\end{cases}$

Après calculs, sauf erreur, en arrondissant à deux décimales (l'énoncé ne précise pas s'il s'agit d'arrondis par excés ou par défaut)
$C≈39,00C\approx 39,00$
$k≈2,04k\approx 2,04$
D'où
$f(t)≈39e−0.04t+51f(t)\approx39e^{-0.04t}+51$
f est décroissante et prend des valeurs de 90 à 51(comme limite)
$51>5051\gt 50$ , d'où la conclusion.