montrer ln(1+e(x))=x+ln(1+e(x)^-x))
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NNuagelectro dernière édition par
Bonjour,
Je dois montrer l'egalité : ln(1+e(x))=x+ln(1+e(x)^-x)) . Mais je bloque vraiment pouvez m'aider.
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mtschoon dernière édition par mtschoon
@Nuagelectro , bonjour,
Je pense que e(x)e(x)e(x) veut dire exp(x)exp(x)exp(x) c'est à dire exe^xex
Le membre de droite que tu as écrit me parait bizarre.Je suggère l'égalité à démontrer :
ln(1+ex)=x+ln(1+e−x)\boxed{ln(1+e^x)=x+ln(1+e^{-x})}ln(1+ex)=x+ln(1+e−x)Si c'est bien ça, tu peux, par exemple, partir du membre de droite et remplacer xxx par ln(ex)ln(e^x)ln(ex)
x+ln(1+e−x)=ln(ex)+ln(1+e−x)x+ln(1+e^{-x})=ln(e^x)+ln(1+e^{-x})x+ln(1+e−x)=ln(ex)+ln(1+e−x)
Utilise les propriétés des logarithmes, d'ou :
x+ln(1+e−x)=ln[(ex)(1+e−x)]x+ln(1+e^{-x})=ln[(e^x)(1+e^{-x})]x+ln(1+e−x)=ln[(ex)(1+e−x)]
x+ln(1+e−x)=ln[ex+exe−x]x+ln(1+e^{-x})=ln[e^x+e^xe^{-x}]x+ln(1+e−x)=ln[ex+exe−x]
Or, exe−x=ex−x=e0=1e^xe^{-x}=e^{x-x}=e^0=1exe−x=ex−x=e0=1
D'où :
x+ln(1+e−x)=ln(ex+1)x+ln(1+e^{-x})=ln(e^x+1)x+ln(1+e−x)=ln(ex+1)
D'où la réponse .
Regarde cela de près et reposte si besoin.
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Bien sûr, tu peux partir du membre de gauche si tu préfères, mais cela me semble moins "naturel".
Sachant que 1=e0=ex−x=exe−x1=e^0=e^{x-x}=e^xe^{-x}1=e0=ex−x=exe−x, tu peux écrire :
ln(1+ex)=ln(exe−x+ex)=ln[ex(e−x+1)]ln(1+e^x)=ln(e^xe^{-x}+e^x)=ln[e^x(e^{-x}+1)]ln(1+ex)=ln(exe−x+ex)=ln[ex(e−x+1)]
donc
ln(1+ex)=ln(ex)+ln(1+e−x)ln(1+e^x)=ln(e^x)+ln(1+e^{-x})ln(1+ex)=ln(ex)+ln(1+e−x)
Vu que ln(ex)=xln(e)=x×1=xln(e^x)=xln(e)=x\times 1=xln(ex)=xln(e)=x×1=x
On tire la conclusion
ln(1+ex)=x+ln(1+e−x)\boxed{ln(1+e^x)=x+ln(1+e^{-x})}ln(1+ex)=x+ln(1+e−x)
CQFD
Bon travail