système d'équation a deux inconnues

Bonjour, je n'arrive pas à résoudre un système d'équations tiré du problème que voici :

Le coût total pour une excursion de la classe de 4ième M s'élève à 1150€.
En dernière minute, deux étudiants d'une autre classe décident de s'ajouter au groupe.
Le coût total reste alors le même, par contre, le prix par élève est abaissé de 4€.

Combien d'élèves comporte la classe de 4ième M ?
Quel est le montant payé par chaque élève de 4ième M pour cette excursion ?

@Jérémie-Obsomer Bonjour,

Appelle $x$ le nombre d'élève de la classe de 4ième et $y$ le prix payé par un élève.
Le système à résoudre :
au départ : $x×y=1150x\times y= 1150$ ,
avec 2 étudiants en plus :
$(x+2)×(y−4)=1150(x+2)\times(y-4)=1150$

Résous ce système.

Propose ton résultat et/ou tes calculs si tu souhaites une vérification.

@Noemi Bonjour,
Le système, je l'avais résolu comme ça:
$x \times y = 1150$ donc $1150y=x\dfrac{1150}{y}=x$
on passe a la deuxième expression :
$(x - 4) \times (y - 2) = 1150$ ais on sait que $x$ vaut $1150y\dfrac{1150}{y}$
donc on remplace le $x$ , et on a
$(1150y−4)×(y+2)=1150(\dfrac{1150}{y}-4)×(y+2)=1150$
on applique la distibutivité
$(1150y×y)+(1150y×2)−((−4)×y)+((−4)×2)=1150(\dfrac{1150}{y}×y)+(\dfrac{1150}{y}×2)-((-4)×y)+((-4)×2)=1150$
on résout
$1150+2300y+4y−8=11501150+\dfrac{2300}{y}+4y-8=1150$
on soustrait $1150$ de chaque coté
$2300y+4y−8=0\dfrac{2300}{y}+4y-8=0$
on multiplie par $y$
$2300 + 4 y ² - 8 y = 0$
et on arrive a un équation de type $a x ² + b x + c = 0$ et c'est la que je bloc, je ne sais pas comment continuer.

@Jérémie-Obsomer

Bonjour,

Noemi t'a donné les 2équations à utiliser ...

Et tu commences par les recopier en te trompant.

xy = 1150 ---> y = 1150/x (OK)

(x+2)*(y-4) = 0 (ET PAS CE QUE TU AS ECRIT)

On a alors : (x + 2)(1150/x - 4) = 0

Et si tu ne te trompes pas, cela conduit à l'équation du second degré : -4x² - 8x + 2300 = 0 (essaie)

Equation qui peut se simplifier en : x² + 2x - 575 = 0

Si tu n'as pas appris à résoudre ce genre d'équation, essaie en donnant des valeurs (positives) à x
En réfléchissant un rien on voit que x² - 575 doit être < 0 (puisque 2x > 0) --> que x < 23,97
... pas trop difficile de trouver la valeur (positive) de x qui convient.

Quand tu auras trouvé x, calcule y par y = 1150/x

@Jérémie-Obsomer

Dans ta résolution, précise à quoi correspondent les inconnues.
$x$ est .....
$y$ est .....
Vérifie la distributivité, une erreur de signe pour le troisième terme.

Pour la résolution de l'équation du second degré
$2300-4y^2-8y=0$ équivalente à
$4y^2+8y-2300=0$ , tu divises par 4
$y^2+2y-575=0$ que tu peux écrire
$y+1)^2-576= 0$
$y+1)^2-24^2=0$
Tu factorises puis tu résous l'équation.

Bonjour,

@Jérémie-Obsomer , je t'indique une méthode alternative pour arriver, pour $x$ et $y$ positifs, à une équation du second degré ( à résoudre en passant par la forme canonique, vu que tu ne ne connais pas encore les formules usuelles de résolution).

Bien sûr $x$ et $y$ doivent être positifs ( $x≥0x\ge 0$ et $y≥0y\ge 0$ ) pour que l'énoncé ait un sens.
Il vaut d'ailleurs mieux considérer $x>0x\gt 0$ et $y>0y\gt 0$ pour pour pouvoir diviser par $x$ ou par $y$ , car toute division n'étant valable que l'orsque le dénominateur est non nul.

Méthode alternative pour éviter la division
$x y = 1150$ .
En développant le membre de gauche de la seconde équation qui est
$(x + 2) (y - 4) = 0$ tu obtiens :
$x y - 4 x + 2 y - 8 = 1150$
en remplaçant $x y$ par $1150$ , tu obtiens :
$1150 - 4 x + 2 y - 8 = 1150$
, c'est à dire : $- 4 x + 2 y - 8 = 0$ , c'est à dire : $y = 2 x + 4$

La première équation devient donc : $x (2 x + 4) = 1150$ , c'est à dire $x^2+2x-575=0$
La forme canonique (identité remarquable) permets de trouver :
$x+1)^2-576=0$ c'est ) dire $x+1)^2-24^2=0$

Tu factorises avec $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ et tu tires la conclusion
$x = . . . .$ puis $y = . . .$

@mtschoon Bonjour,
Comment peut on passer de $x ² + 2 x - 575 = 0$ a $(x + 1) ² - 575 = 0$ ?

@Jérémie-Obsomer

$x^2+2x-575=x^2+2x+1-1-575$
or $x^2+2x+1)= (x+1)^2$
donc
$x^2+2x+1-1-575=(x+1)^2-576$

@Jérémie-Obsomer ,

Fais attention.
Observe ce que je t'ai indiqué .
Il faut passer de $x^2+2x-575=0$ à $x+1)^2-576=0$

Noemi t'a indiqué la méthode ; tu ajoutes 1 (pour trouver $x+1)^2$ ) et tu enlèves 1 ( car +1-1=0) pour équilibrer.

@mtschoon bojour,
ok, donc, j'arrive a : $(x - 23) \times (x + 25) = 0$
et donc x peut valoir soit $23$ soit $- 25$ , mais comme on parle d'un nombre d'élève, la seul réponse logique est $23$ et si $x = 23$ alors $y = 50$

@Jérémie-Obsomer , bonjour,

Ta réponse "logique" est tout à fait exacte. Bravo !