Démonstration par récurrence

Bonjour,

J'ai regardé quelques vidéos qui expliquent la démonstration par récurrence dont 2-3 d'yvan monka et celles de jaicompris sur Youtube.
Malgré ça j'ai du mal avec la partie ''hérédité'', j'ai l'impression que cette partie se fait par instinct.. Quelqu'un aurait un conseil svp ?

@Isra-K Bonjour,

Propose un exercice et indique sa résolution ou la partie qui te pose problème.

Regarde ce cours : https://homeomath2.imingo.net/reccur1.htm

Voilà le sujet : Capture d’écran 2021-08-23 131044.png

Bonjour,

Avec une présentation un peu différente (mais équivalente) :

Supposons que 2^n > n² est vrai pour une certaine valeur k de n (avec k >=5)

On a alors : 2^k > k²

On a donc : 2 * 2^k > 2 * k²
2^(k+1) > 2k² (1)

Or (k+1)² = k² + 2k + 1
(k+1)² + k² = 2k² + 2k + 1
2k² = (k+1)² + k² - 2k - 1
2k² = (k+1)² + (k - 1)² - 2

comme k >= 5, on a (k - 1)² - 2 > 0 et donc 2k² > (k+1)²

Cela dans (1) --> 2^(k+1) > 2k² > (k+1)²

Donc : 2^(k+1) > (k+1)²

L'expression 2^n > n² est donc vraie pour n = k+1

On a donc montré que si 2^n > n² est vrai pour une certaine valeur k de n (avec k >=5), c'est vrai aussi pour n = k+1 (2)

- - - - °

On peut vérifier que la propriété 2^n > n² est vraie pour n = 5,

En effet 2^5 > 5² --> on vérifie bien que 2^n > n² est vrai pour n = 5

- - - - °

Comme 2^n > n² est vrai pour n = 5, par (2), on a :
2^n > n² est vrai aussi pour n = 5+1 = 6

Comme 2^n > n² est vrai pour n = 6, par (2), on a :
2^n > n² est vrai aussi pour n = 6+1 = 7

Et ainsi de proche en proche, on montre que 2^n > n² est vrai pour n entier >= 5

@Isra-K

Indique ce que tu ne comprends pas dans la démonstration.

Par exemple on passe de : $2^k$ > $k+1)^2$ à ===> $2^k$ x $2^1$ > $2k^2$
C'est juste mais le problème c'est, comment fait il pour penser à ça ? Parce que en soit multiplier des deux côtés ça n'a pas de lien avec l'expression de base. On dirait qu'il sait déjà ce qu'il faut faire

Bonjour,

@Isra-K , comme je passe par là, je regarde ta procupation.

Par hypothèse de la récurrence : $2k>k2\boxed{2^k\gt k^2}$
C'est de cette formule qu'il faut partir, pour prouver l'inégalité à l'ordre $k + 1$ : $2k+1>...\boxed{2^{k+1}\gt...}$

Tu peux avoir l'idée de multiplier chaque membre de la première inégalité encadrée par $2$ par obtenir $2^{k+1}$ dans le membre de gauche :

Cela te donne ainsi :

$2×2k>2×k22\times 2^{k}\gt 2\times k^2$ , c'est à dire $2k+1>2k22^{k+1}\gt 2k^2$

@mtschoon On peut dire que pour la récurrence il faut avoir un instinct de matheux

@Isra-K ,

La pratique joue beaucoup et aide l'instinct...

Je pense que tu as compris la fin de la démonstration que tu proposes, car après le tableau de signes, on ne voit pas trop.

Demande si ce n'est pas le cas.

@mtschoon Oui les calculs et le raisonnement, j'ai compris merci. Je pense qu'il faut que je m'entraîne pour développer des automatismes ect. Par exemple avant quand on me disait qu'est-ce que tu vois : 1 , je disais 1, alors qu'enfait un peut voir 1x1 1/1 $1^1$ ...

Il me reste un peu moins d'un mois avant mon épreuve de rattrapage bac de maths, je pense que ça devrait le faire '^^

Bon courage @Isra-K , et compte sur le forum si tu as besoin.

Pour consulter certaines parties du cours, tu peux éventuellement regarder ici :
https://www.mathforu.com/terminale-s/

Je vous remercie pour votre soutient !! Petite question, est-ce-que par hasard vous savez si nous pouvons avoir un sujet dont nous avons pas eu le temps de traité le chapitre ?

@Isra-K , bonjour,

Ma réponse ne va pas t'aider...désolée...attends d'autres avis

Dans les conditions normales (avant Covid), tout le programme était impérativement traité durant l'année scolaire.
Le but du rattrapage était de s'assurer que le candidat maîtrise ce programme.

Dans le contexte actuel ( j'ignorais qu'il était possible que certains chapitres ne soient pas traités, en présentiel et/ou cours à distance ),peut-être que l'examinateur possède des consignes relatives la question que tu poses.

Si tu ne veux pas prendre de risque (et pour être au niveau pour tes futures études), je te conseille d'essayer, si cela est possible, de voir (ou revoir) tout le programme.

@mtschoon D'accord merci en tout cas

@Isra-K Bonjour,

Comme pour la session de juin, le candidat à la session de rattrapage devrait présenter à l'examinateur, une fiche fournie par l'établissement, indiquant les parties du programme traitées (ou non traitées) pendant la formation.

@Noemi Bonjour,

-En effet, j'ai la fiche en question, est-ce-que vous pouvez me donner la source de votre information s'il vous plaît ?

-Dans la fiche, je dois, remplir "Numéro de candidat", cocher "Baccalauréat Général", remplir "Nom et l'adresse de l'établissement dans le quel le candidat est scolarisé" ,

mais à gauche de "Visa du chef d'établissement" et dans le carré en dessous je dois écrire signer ou quelque chose comme ça ? Capture d’écran 2021-08-25 160314.png

@Isra-K

C'est une information donnée par le rectorat.

C'est le chef d'établissement qui doit valider cette fiche donc il faut lui soumettre afin qu'il la signe et ajoute le cachet de l'établissement.

@Noemi

D'accord merci beaucoup !!!!

si vous voulez en apprendre plus sur le raisonnement par récurrence, je vous recommande cet article https://www.paramaths.fr/post/la-beauté-du-raisonnement-par-récurrence

@Nicolas-Masset Bonjour,

Merci j'ai saisi ceci. Maintenant j'ai compris la récurrence grâce à mon frère