dérivation , exercices

bonjour vous pouvez m'aider svp
je suis bloquée

Exercice 3

Étudier les variations de la fonction f définie sur R par f(x)= (1-x)e²x +1

j ai commencé par dire que la fonction est dérivable sur R car c'est le produit d'une fonction polynome et d'une fonction exponentielle
et que c est de la forme uxv
avec u(x)=1-x et v(x)= e²x+1

@pouvens bonsoir,

$u (x) = 1 - x$ , $u^{'} (x) = - 1$

Si $v(x)= e^{2x}$ , alors $v'(x)= 2e^{2x}$

Je te laisse poursuivre

f'(x)= -1(e²x+1) + 2e²x ( 1-x)
= -e²x-1 + 2e²x + 2e²x²

@pouvens

Attention,
$v (x)$ n'est pas égal à $e^{2x}+1$ puisqu'il n'y a pas de parenthèse.

Est-ce $e^{2x+1}$ ?

non , le 1 n'est pas en exposant

@pouvens

Donc si $f(x)= (1-x)e^{2x}+1$
tu poses
$u (x) = (1 - x)$ et $v(x)= e^{2x}$
puis
$u^{'} (x) = - 1$ et $v'(x)= 2e^{2x}$
soit
$-1\times e^{2x}+(1-x)\times 2e^{2x}$
A simplifier

et le +1???

f'(x)= e²x +2e²x-2e²x²

@pouvens

La dérivée d'une constante est nulle.

Attention aux signes
$f'(x)= e^{2x}(-1+2-2x)$
soit $f'(x)=(1-2x)e^{2x}$

Etudie le signe de cette dérivée.

@Noemi
1-2x supérieur ou égal à 0
X supérieur ou égal à 1/2
Dc de moins l infini à 1/2 f '(x) est négative et de 1/2 à plus l infini elle est positive

Dc f est décroissante puis croissante

@pouvens
Non

$1−2x≥01-2x\geq0$ ; $\geq -1$ , soit $\leq \dfrac{1}{2}$

@Noemi
Ah oui c'est vrai
Merci
Du coup la fonction est croissante puis décroissante

@pouvens

Oui, ce sont les bonnes variations.

@Noemi
Et pour e2x

@pouvens

$e^{2x}$ est strictement positif pour tout $x$ .

Bonjour,

@pouvens , je regarde ton travail.

Tu as commencer par indiquer :
"La fonction est dérivable sur R car c'est le produit d'une fonction polynome et d'une fonction exponentielle"

ça ne va pas à cause du "+1"

$f(x)=(1-x)e^{2x}+1$

Tu peux, par exemple, poser : $f (x) = g (x) + h (x)$ avec
$g(x)=(1-x)e^{2x}$ et $h (x) = 1$
$g$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables (fonction polynôme et fonction exponentielle)
$h$ est dérivable comme fonction constante (sa dérivée vaut 0)

Donc $f$ est dérivable comme somme de deux fonctions dérivables $g$ et $h$

@pouvens ,

Si tu veux vérifier les variations de f que tu as trouvées, sur la calculette, tu peux faire représenter f.

Voici une illustration :

@mtschoon d accord merci beaucoup

De rien @pouvens et bon travail.