la dérivation et comment peut-on l'employer pour résoudre des problèmes mathématiques

Bonjour j'ai un petit problème à résoudre l'exercice suivant :
Soit f une fonction définie par deux parties tel que f (x)=ax+b si x《 1 et 1/x+1 si x>1
alors la question est la suivante : Déterminer la valeur de a et b pour que f soit dérivable en 0 .
Et merci d'avance !

@ABCD-EFGH Bonsoir,

Vérifie l'énoncé,

@Noemi ah oui j'ai fait une faute , si x《0 et pas x《1 et si x>0 et non pas x>1

@ABCD-EFGH

Calcule la limite : $lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0\displaystyle \lim_{x\to0} \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$

@Noemi alors ce que j'ai fait est d'étudier la dérivabilité de f à droite et à gauche en 0
f'g (0)=a et pour que f soit dérivable en 0 il faut que f'g (0)=f'd (0)=a

@ABCD-EFGH

Calcule $f^{'} d (0)$ .

@Noemi alors c'est lim(x->0+)f (x)-f (0)/x-0=lim (x->0+)1-b (x+1)/x (x+1)=a

@ABCD-EFGH

C'est $1x+1−1x=...\dfrac{\dfrac{1}{x+1}-1}{x}= ...$

@Noemi mais f (0)=b non ?

@ABCD-EFGH car 0 est inclus dans le domaine de f (x )=ax+b donc c'est là où on doit calculer f (0)

@ABCD-EFGH

Exact mais à droite si $x$ tend vers 0, la fonction tend vers 1, d'ou b = 1.
et si $x$ tend vers 0,
$1x+1−1x=−1\dfrac{\dfrac{1}{x+1}-1}{x}= -1$ , donc $f^{'} (0) = - 1$
soit $a = - 1$

@Noemi désolé mais j'ai pas compris

@ABCD-EFGH j'ai pas compris comment vous avez calculer la limite à droite de 0 et pourquoi , mais pour a , oui ça va

@ABCD-EFGH lim(x->0+)(1/x+1 - b)/x =lim (x->0+)(1/x+1 - b)'/x'= lim(x->0+) -1/(x+1)^2= -1 donc a= -1 et f'(0)= -1
mais pour b je sais pas comment

@ABCD-EFGH

$f (0) = 1$ , donc pour $f (x) = a x + b$ , $b = . . .$

Bonjour,

@ABCD-EFGH , je me permets une indication non véritablement explicitée, pour comprendre la valeur de b que tu sembles ne pas avoir trouvée.

Par théorème (qui doit être dans ton cours), si une fonction est dérivable en $x_0$ , elle est continue en $x_0$

Ici, la fonction doit être dérivable en 0, donc elle doit être continue en 0

Cela veut dire que :
$lim⁡x→0,x<0f(x)=lim⁡x→0,x>0f(x)=f(0)\displaystyle \lim_{x\to 0, x\lt 0}f(x)= \lim_{x\to 0, x\gt 0} f(x)=f(0)$

ici :
$f (0) = b$

$lim⁡x→0,x<0f(x)=lim⁡x→0,x<0(ax+b)=b\displaystyle \lim_{x\to 0, x\lt 0}f(x)=\lim_{x\to 0, x\lt 0}(ax+b)=b$

$lim⁡x→0,x>0f(x)=lim⁡x→0,x>0(1x+1)=1\displaystyle \lim_{x\to 0, x\gt 0}f(x)=\lim_{x\to 0, x\gt 0}(\dfrac{1}{x+1})=1$

Donc $b=1\boxed{b=1}$

@mtschoon maintenant j'ai compris , merciii

@ABCD-EFGH , de rien et bon travail !