DM spécialité mathématiques Terminale

Bonjour,
Je suis une élève de première et mon professeur nous a donner un dm de terminale à finir pour la semaine mais je n’arrive pas à aller plus loin que la première question petit a pourriez vous m’aider ?
Tout d’abord merci d’avance

On considère la fonction f définie sur R - {4} par f(x)= $x2−7x+14x−4\dfrac{x^2-7x+14}{x-4}$ . Soit Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé.

a. Déterminer la dérivée de la fonction f
b. En déduire le tableau de variation de la fonction f sur R - {4}

On cherche maintenant les réels a, b et c tels que pour tout x différent de 4, on puisse écrire la fonction f sous la forme f(x) = $(a x + b + c) / (x - 4)$ .

a. Mettre l’expression ci dessus au même dénominateur et mettre le résultat sous la forme $(alphax2+be^tax+Y)/(x−4)(alpha x^2 + bêta x + Y)/(x - 4)$ ou alpha bêta et Y sont des réels qui dépendent de a b et c.

b. écrire un système à trois équations, aux trois inconnues a b et c en “comparant” l’expression $x^2-7x+14)/(x-4)$ avec celle obtenue dans la question précédente.

c. Déterminer les réels a b et c grace au système précédent.

a. Montrer que pour tout x différent de 4 $f (x) - (x - 3) = 2 / (x - 4)$ .

b. en déduire la position relative de la courbe Cf avec la droite D d’équation D : $y = x - 3$ .

Remarque : La méthode pour déterminer les réels à b et c donné dans la question 2 est appelé identification.

Voilà merci d’avance et passez une bonne journée !

@Mnoo Bonjour,

Pour la question 2, je suppose que tu as voulu écrire :
$ax+b+\dfrac{c}{(x-4)}$ ?

@Noemi Oui exact je ne sais pas encore bien utiliser le site desolée

@Mnoo
Donc réduis au même dénominateur :
$\dfrac{(ax+b)(x-4)+c}{(x-4)}$

Développe et ordonne le numérateur.
Indique tes calculs et/ou résultats.

@Noemi
je dois développer ou je peux supprimer $(x - 4)$ et ca va donner $(a x + b) + c$ ?

@Mnoo

Non,
$\dfrac{(ax+b)(x-4)+c}{(x-4)}$

$\dfrac{ax^2+bx-4ax-4b+c}{(x-4)}$
$\dfrac{ax^2+(b-4a)x-4b+c}{(x-4)}$

pour le b., tu résous le système :
$a = 1$
$b - 4 a = - 7$
$- 4 b + c = 14$

@Noemi
Ah d’accord ! je ne l’avais pas compris comme ça merci !

@Mnoo

c) résous le système

@Noemi
Cela me parait plus simple et pour le 3 comment puis-je le prouver ?

@Mnoo

$\dfrac{2}{(x-4)}$

Tu cherches le signe de $2(x−4)\dfrac{2}{(x-4)}$ pour $x<4x\lt 4$ et pour $x>4x\gt4$ et tu as la position de la droite par rapport à la courbe.

@Noemi
d'accord super merci !

@Mnoo

C'est parfait si tu as tout compris et que tu peux terminer seul l'exercice.

@Noemi
Je pense que c’est bon pour tout mis à part avec les 3 inconnues je ne pense pas savoir j’ai compris le fait de comparer les 2 équations mais pas le reste

@Mnoo

Le système :
$a = 1$ (1)
$b - 4 a = - 7$ (2)
$- 4 b + c = 14$ (3)

De la première équation tu déduis la valeur de $a$ que tu remplaces dans la deuxième équation pour trouver $b$ .
Puis tu remplaces $b$ par sa valeur dans la troisième équation pour trouver $c$ .

@Noemi
Ah super merci c’est tout bon !

@Noemi
donc b = -3
et c = 2 ici

@Mnoo

C'est juste.

@Noemi
super merci encore !