Comment conjecturer une suite

[Vanessa_]

Bonjour je rencontre quelque soucis avec mon exercice
On note (Un) la suite de premier terme Uo = 1 et telle que pour tout entier n , Un+1 = 4/3Un + 3n-2

Il faut que je conjecture cette suite pour faire un raisonnement par récurrence mais je bloque sur ça
Merci d’avance

Vanessa

[mtschoon]

@Vanessa_ , bonjour,

Pourrais-tu écrire l'énoncé tel qui t'a été donné ( et non ton interprétation personnelle ). Merci.

[Vanessa_]

On note (Un) la suite de premier terme Uo = 1 et telle que pour tout entier n, Un+1 = 4/3Un + 3n -2

1. A l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, Un>0
2. En déduire que la suite (un) est croissante à partir du rang 1

[mtschoon]

@Vanessa_ , merci pour l'énoncé écrit, car ta première version n'était pas "normale".

Pistes pour le 1) Récurrence.

Initialisation pour n=2
Tu calcules $U_1$ puis $U_2$ et tu dois trouver pour $U_2$ une valeur numérique strictement positive
(ça doit être 1/9, mais vérifie. J'ai fait vite...)

Hérédité ( on dit aussi Transmission)

Hypothèse à un ordre n $(n\ge 2$) : $U_n>0$

Conclusion à démontrer à l'ordre (n+1) : $U_{n+1}>0$

DEMONSTRATION

$U_{n+1}=\frac{4}{3}{U}_n+3n-2$

Par hypothèse de l'hérédité, $U_n>0$ donc $\frac{4}{3}{U}_n>0$

$n\ge 2$ donc $3n\ge 6$ donc $3n-2\ge 4$ donc à forciori $3n-2>0$

La somme de deux nombres strictement positifs est strictement positive donc $U_{n+1}>0$

CQFD

Regarde cela de près et essaie d'en déduire la question 2) qui est une conséquence de la 1)

[mtschoon]

@Vanessa_ , bonsoir,

Je te donne quelques indications pour le 2)

Pour $n\ge 1$ , démontre que $U_{n+1}-U_n\ge 0$

Pour cela, transforme $U_{n+1}-U_n$

En remplaçant $U_{n+1}$ par son expression en fonction de $U_n$, tu trouves :

$U_{n+1}-U_n=\frac{4}{3}{U}_n+3n-2-U_n=\frac{1}{3}{U}_n+3n-2$

Pour $n=1$ , tu calcules $U_2-U_1$ pour trouver le signe

Pour $n\ge 2$ , sachant que $U_n>0$ tu déduis le signe de $U_{n+1}-U_n$

Bon travail.