calcul nombre complexe

Bonjour les amis s'il vous plait vous pouvez m'aider a résolue cette exercice:
soit z appartient c vérifiant: z barre+module de z=6+2i.vérifier l'écriture algébrique de z.

@Meryam Bonjour,

Tu poses $z = a + b i$ que tu remplaces dans l'équation.
$a−bi+a2+b2=6+2ia-bi+\sqrt{a^2+b^2}=6+2i$
Puis tu détermines la valeur de $b$ puis de $a$ à partir de :
$a+a2+b2=6a+\sqrt{a^2+b^2}=6$
$- b i = 2 i$

Indique tes résultats et/ou calculs si tu souhaites une vérification.

Bonjour ( ou bonsoir)

@Meryam , si ça peut te donner du courage pour faire les calculs, je t'indique la réponse.
Sauf erreur, $z=83−2iz=\dfrac{8}{3}-2i$

Bons calculs.

oui je veux essayer bonne chance pour moi

@Meryam

Tu as directement : $b = - 2$
puis
$a+a2+4=6a+\sqrt{a^2+4}=6$
soit $a2+4=6−a\sqrt{a^2+4}=6-a$
pour $\leq6$ , tu élèves chaque membre au carré.

Je te laisse poursuivre.

je suis bloquées

@Meryam ,

Si tu en es à $a2+4=6−a\sqrt{a^2+4}=6-a$

Condition $6−a≥06-a\ge 0$ , l'élévation au carré te donne :
$a^2+4=(6-a)^2$
Tu développes le membre de droite :
$a^2+4=36-12a+a^2$
Tu simplifies les $a^2$ et tu termines pour trouver $a$

Reposte si c'est la démarche générale qui te bloque.

pourquoi tu mets le carrée sur a**2+4=(6-a)**2 et pourquoi (6-a)est supérieur ou égal a 0 ??

@Meryam , j'essaie de détailler cette dernière étape si elle te bloque.

Lorsque tu as une équation de la forme $A=B\boxed{\sqrt A=B}$ il y a deux conditions pour qu'elle soit possible.

$A≥0\boxed{A\ge 0}$ pour que $A\sqrt A$ existe
Ici $A=a^2+4$ , donc cette condition est réalisée pour tout a réel

$A\sqrt A$ est positif, donc le membre de gauche de l'équation est positif. Pour que l'égalité soit possible, le membre de droite doit être positif, c'est à dire $B≥0\boxed{B\ge 0}$
Ici $B = 6 - a$
$B≥0B\ge 0$ <=> $6−a≥06-a\ge 0$ <=> -a \ge -6$ <=> $a≤6a\le 6$

Donc, pour $a≤6a\le 6$ les deux membres existent et sont positifs.
Dans ce cas, l'élévation au carré ( pour "chasser" la racine carrée) est régulière.
Cela donne :
$(A)2=B2\boxed{(\sqrt A)^2=B^2}$ c'est à dire $A=B2\boxed{A=B^2}$
Ici, cela fait
$a^2+4=(6-a)^2$ c'est à dire $a^2+4=36-12a+a^2$
c'est à dire (après simplification) $4 = 36 - 12 a$
c'est à dire $12 a = 36 - 4$
c'est à dire 12a=32
c'est à dire $a=3212a=\dfrac{32}{12}$
c'est à dire $a=83a=\dfrac{8}{3}$
Cette valeur convient car elle est bien inférieure à 6.

@Meryam , pour lecture seulement.

Vu que tu sembles découvrir ce type d'équation de la forme $A=B\sqrt A=B$ (appelée équation irrationnelle, à cause le la racine carrée), je t'indique pourquoi l'élévation au carré est régulière (avec les conditions A et B positifs)

Ce n'est pas à faire dans un exercice, car cela fait partie des propriétés usuelles connues.

On dit que l'élévation au carrée est régulière parce que les équations $A=B^2$ et $A=B\sqrt A=B$ sont équivalentes ( même ensemble de solutions)

CALCULS qui le prouvent

$A=B^2$ <=> $(A)2=B2(\sqrt A)^2=B^2$ <=> $(A)2−B2=0(\sqrt A)^2-B^2=0$
En factorisant avec identité remarquable , cela équivaut à :
$(A−B)(A+B)=0(\sqrt A-B)(\sqrt A+B)=0$ <=> $A=B\sqrt A=B$ ou $A=−B\sqrt A=-B$

1er cas (trivial) $B = 0$
Vu que $0 = - 0$ , en remplaçant B par 0 dans ce qui vient d'être calculé, on trouve : $A = 0$ <=> $A=0\sqrt A=0$
La propriété est donc vraie pour $B = 0$

2ème cas : $B>0B\gt 0$
Dans ce cas, $−B<0-B\lt 0$ .
L'équation $A=−B\sqrt A=-B$ est impossible car le membre de gauche est positif et le membre de droite strictement négatif
On obtient donc : $A=B^2$ <=> $A=B\sqrt A=B$
La propriété est donc vraie pour $B>0B\gt 0$

CQFD

Bonne lecture éventuelle.

Merci beaucoup

De rien @Meryam.
C'est très bien si tu as compris.