Limites de fonctions

bonjour , j'ai deux problèmes mathématiques à résoudre et j'ai besoin d'une aide , le 1er problème :
soit f une fonction définie, sur R privé de 0 et de 1 , par f (x) = ax -1 / x^2 - x tel que a est un réel . #Déterminer la valeur de a pour que f admet une limite en 1 .
2ème problème :
soit f une fonction définie sur R par :
f (x)= a√x ; x 》0
et f (x) = 1 - cosx /x^2 ; x <0
où a est un réel non nul .
#Déterminer la valeur de a sachant que :
lim (x->0+)f (x) = lim(x->0-)f (x)
Bon pour le 1er problème, j'ai pas d'idée sur la démarche ( j'ai juste calculer les limites de f quand x tend vers 1- et 1+ et j'ai constaté que f tend vers l'infini et que ça depend su signe de a-1 pour voir si c'est + ou - l'infini , mais je ne pense pas que f admet une limite en 1 car les limites de f en 1- et 1+ ne seront pas égales )
et pour le 2ème problème, lim (x->0-)f (x) = 1/2 et lim(x->0+)f (x) = 0 mais n'a pas de limite quand x tend vers 0 , non ?
et merci d'avance

@ABCD-EFGH Bonjour,

Un exercice par post.
Pour le premier, cherche la limite pour $a = 1$ .

@Noemi meci beaucoup pour votre aide, la limite demandée égale 1.

@ABCD-EFGH a dit dans Limites de fonctions :

f (x) = ax -1 / x^2 - x

Bonjour,

Ton écriture : f (x) = ax -1 / x^2 - x

correspond à $\frac{1}{x^2} - x$

Si c'est $\frac{ax-1}{x^2-x}$ que tu avais l'intention d'écrire, alors IL FAUT ECRIRE : f(x) = (ax-1)/(x²-x)

Ce n'est pas une erreur mineure.

Pour x --> 1 , le dénominateur de f(x) --> 0
Pour que f(x) ait une limite finie en 1, il faut donc que pour x-->1, le numérateur de f(x) --> 0 aussi
Donc a*1 - 1 = 0
a = 1
Avec a = 1, on a f(x) = (x-1)/(x²-x)
lim(x-->1) (x-1)/(x²-x) est une indétermination de type 0/0, il faut essayer de lever cette indétermination et vérifier si le résultat existe.
lim(x-->1) (x-1)/(x²-x) = lim(x-->1) (x-1)/(x(x-1)) = lim(x-->1) x = 1

Donc, il faut a = 1 pour que f(x) admette une limite finie en 1.

Bonjour,

@Black-Jack a dit dans Limites de fonctions :

lim(x-->1) (x-1)/(x²-x) = lim(x-->1) (x-1)/(x(x-1)) = lim(x-->1) x = 1

C'est plutôt

$lim⁡x→1x−1x2−x=lim⁡x→1x−1x(x−1)=lim⁡x→1x−1x(x−1)=lim⁡x→11x=1\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{x-1}{x^2-x}= \lim_{x\to 1}\dfrac{x-1}{x(x-1)}= \lim_{x\to 1}\dfrac{x-1}{x(x-1)}= \lim_{x\to 1}\dfrac{1}{x}=1$

@mtschoon oui c'est ça : f(x)=(ax-1)/(x^2-x) et oui j'ai compris la résolution ; il faut que f admette une limite en 1 et donc il faut qu'il n'y ait pas de forme indéterminée et pour sauter l'indétermination il'n y a que trouver comment se débarrasser de x-1 qui est la cause de cette indétermination et pour cela il faut que a=1 . Merci infiniment à toute l'équipe de mathforu !
Et pour le 2ème problème, pourriez-vous me montrer la démarche s'il vous plaît ?

@ABCD-EFGH

Tu aurais du ouvrir un autre sujet pour ton deuxième problème.
Utilise :
$(1−cos(x))=2sin2x2(1-cos(x))=2sin^2\dfrac{x}{2}$
et
$0sinxx=1\displaystyle \lim_{x\to\ 0} \dfrac{sinx}{x}=1$

L'expression $a\sqrt x$ est-elle correcte ?

Bonjour,

@ABCD-EFGH , ce que tu as indiqué comme réponse à ta question 2 est exact (avec l'énoncé que tu as donné).

Quelque soit la valeur de a, f n'a pas de limite en 0.

ça ne convient pas bien avec la phrase" Déterminer la valeur de a"... ?

Vérifie peut-être l'énoncé.

@mtschoon l'énoncé est correct, déterminer a sachant que f admet une limite en 0

@ABCD-EFGH ,

Que dire....à part :
"il n'existe par de valeur de a telle que f admet une limite en 0"

@ABCD-EFGH

L'écriture de la fonction est-elle aussi correcte ?

@Noemi oui

@ABCD-EFGH f(x)=a√x ; x》0 et f(x)=(1-cosx)/x^2 ; x<0

@ABCD-EFGH , si tu es vraiment sûr(e) de l'énoncé, c'est que l'énoncé est mal formulé.

Au lieu de dire "Déterminer la valeur de a ............" il aurait été pour correct de dire "Existe -t-il une valeur de a ..............."

Je ne vois pas quoi dire d'autre.

@ABCD-EFGH

Donc pas de valeur de $a$ .
Il faudrait par exemple que $a+\sqrt x$ ou $a-\sqrt x$ .

@Noemi oui et dans ce cas là a = 1/2 c'est ça ?

@ABCD-EFGH

Oui

@mtschoon compris , merciii

@Noemi bien compris , merciii